QD3D プログラム仕様

量子ドット (Quantum Dot) におけるエネルギー準位計算および関連関数のプロットスクリプト

概要:: 本スクリプトは、球対称ポテンシャル井戸モデルを用いた量子ドットのエネルギー準位を計算し、その結果を表示する機能、および関連する物理関数（球Bessel関数や水素原子の動径波動関数）をプロットする機能を提供する。
詳細説明:: cal モードでは、指定された有効質量と半径を持つ量子ドットの電子のエネルギー準位を、球Bessel関数の零点を用いて計算します。 plot モードでは、球Bessel関数のグラフを描画し、その零点を視覚化します。 plotH モードでは、水素原子の動径波動関数を描画します。コマンドライン引数により実行モードを選択できます。
関連リンク:: 3DQD_usage 量子力学I/球対称井戸型ポテンシャル: https://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E2%85%A0%2F%E7%90%83%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E4%BA%95%E6%88%B8%E5%9E%8B%E3%83%9D%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%AB 量子力学I/3次元調和振動子: https://dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E2%85%A0%2F%EF%BC%93%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%8C%AF%E5%8B%95%E5%AD%90#fe164113

QD3D.cal()

概要:

量子球のエネルギー準位を計算し、結果を標準出力に表示します。

詳細説明:

設定された有効質量 meff と半径 R を持つ量子球（量子ドット）に対し、指定された範囲の主量子数 n と軌道角運動量量子数 l について、そのエネルギー準位を計算します。まず get_bessel_zeros を用いて球Bessel関数の零点を取得し、次に energy_level を用いて各準位のエネルギーを計算します。計算結果はエネルギーの低い順にソートされ、各準位の情報（量子数、エネルギー、零点値）が出力されます。

戻り値:

returns:: なし
rtype:: None

QD3D.energy_level(meff, R, n, l, zeros)

概要:

球対称量子井戸（量子ドット）のエネルギー準位を計算します。

詳細説明:

無限に深い球対称ポテンシャル井戸モデルに基づき、与えられた量子数 n と l に対応するエネルギー準位を計算します。エネルギーは、球Bessel関数の零点 alpha_nl を用いて E_nl = (hbar^2 * k_nl^2) / (2 * m_eff * m_e) の式で求められます。ここで k_nl = alpha_nl / R です。

引数:

param meff:: 電子の有効質量 (自由電子質量 me に対する比率)。
type meff:: float
param R:: 量子ドットの半径 (m)。
type R:: float
param n:: 主量子数 (1から始まる)。球Bessel関数のn番目の零点に対応。
type n:: int
param l:: 軌道角運動量量子数。
type l:: int
param zeros:: 球Bessel関数の零点のリスト。zeros[l][n-1] の形式で零点にアクセスします。
type zeros:: list[list[float]]

戻り値:

returns:: 計算されたエネルギー準位 (eV) と対応する球Bessel関数の零点 alpha_nl のタプル。零点が見つからない場合は (None, None) を返します。
rtype:: tuple[float, float] or tuple[None, None]

QD3D.get_bessel_zeros(l, xmin=0.0, xmax=10.0, dx=0.1, print_level=0)

概要:

球Bessel関数 j_l(x) の零点を計算します。

詳細説明:

指定された次数 l の球Bessel関数 scipy.special.spherical_jn(l, x) を対象として、 get_zeros 関数を用いて零点を探索します。

引数:

param l:: 球Bessel関数の次数 (軌道角運動量量子数)。
type l:: int
param xmin:: 探索範囲の最小値。
type xmin:: float
param xmax:: 探索範囲の最大値。
type xmax:: float
param dx:: 初期探索におけるステップサイズ。
type dx:: float
param print_level:: デバッグ情報の出力レベル。get_zeros 関数に渡されます。
type print_level:: int

戻り値:

returns:: 球Bessel関数の零点のリスト。
rtype:: list[float]

QD3D.get_zeros(func, xmin=0.0, xmax=10.0, dx=0.1, eps=1e-10, nmaxiter=50, h=1e-10, dump=1.0, print_level=0)

概要:

関数の零点を計算します。

詳細説明:

与えられた関数 func の指定された区間 [xmin, xmax] 内における零点を探索します。零点の探索には、関数値の符号反転を検出した後、ニュートン法に似た数値的な手法を使用します。各ステップで接線近似を用いて次点の推定を行い、指定された収束条件 eps または最大反復回数 nmaxiter に達するまで繰り返します。

引数:

param func:: 零点を探す関数。引数を1つ取るcallableオブジェクト。
type func:: callable
param xmin:: 探索範囲の最小値。
type xmin:: float
param xmax:: 探索範囲の最大値。
type xmax:: float
param dx:: 初期探索におけるステップサイズ。
type dx:: float
param eps:: 零点探索の収束判定に用いる許容誤差。
type eps:: float
param nmaxiter:: ニュートン法系反復の最大回数。
type nmaxiter:: int
param h:: 数値微分の計算に使用する微小な差分。
type h:: float
param dump:: ニュートン法におけるステップサイズの調整係数（ダンプファクター）。1.0は標準的なステップサイズ。
type dump:: float
param print_level:: デバッグ情報の出力レベル。0で非表示、1で表示。
type print_level:: int

戻り値:

returns:: 見つかった零点のリスト。
rtype:: list[float]

QD3D.main()

概要:

スクリプトのメイン実行関数。

詳細説明:

コマンドライン引数 sys.argv[1] の値に基づいて、実行モードを決定します。 'cal' モードでは cal() 関数を呼び出し、量子球のエネルギー準位計算と表示を実行します。 'plot' モードでは plot_spherical_bessel() 関数を呼び出し、球Bessel関数のプロットを実行します。 'plotH' モードでは plot_H() 関数を呼び出し、水素原子の動径波動関数のプロットを実行します。上記以外のモードが指定された場合はエラーメッセージを表示し、スクリプトを終了します。

戻り値:

returns:: なし
rtype:: None

QD3D.plot_H(nmax, rmax)

概要:

水素原子の動径波動関数 R_nl(r) をプロットします。

詳細説明:

水素原子の動径波動関数 R_nl(r) を、主量子数 n と軌道角運動量量子数 l の組み合わせに対して計算し、matplotlib を用いてグラフを描画します。 genlaguerre 関数（一般化されたラゲール多項式）を用いて計算が行われます。プロットされる動径 r の範囲は 0 から 20 まで（ボーア半径 a0 単位）。なお、rmax 引数は現在の実装ではプロット範囲に影響を与えません。

引数:

param nmax:: プロットする主量子数 n の最大値。n は 1 から nmax まで。
type nmax:: int
param rmax:: (未使用) r軸の最大値として想定される値（ボーア半径 a0 単位）。
type rmax:: float

戻り値:

returns:: なし
rtype:: None

QD3D.plot_spherical_bessel(lmax, rmax, rmesh=500)

概要:

球Bessel関数 j_l(x) をプロットします。

詳細説明:

0から lmax までの次数 l について、球Bessel関数 j_l(x) を 0 から rmax までの区間で計算し、matplotlib を用いてグラフを描画します。各関数の零点も get_bessel_zeros を使用して計算し、グラフ上にマークします。

引数:

param lmax:: プロットする球Bessel関数の最大次数 (l)。
type lmax:: int
param rmax:: r軸の最大値。
type rmax:: float
param rmesh:: r軸のデータポイント数。
type rmesh:: int

戻り値:

returns:: なし
rtype:: None