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バンド構造を用いた材料開発（実践編）
－第一原理バンド計算(など)で何がわかるか－

神谷利夫

東京科学大学

総合研究院

元素戦略MDX研究センター

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スケジュール

9:00～10:30 10:30～10:50	結晶のバンド構造と電子の振る舞い（基礎編）	杉山正和 (東大・工)
10:50～12:20 (講義) 12:20～12:40 (質問/相談コーナー)	バンド構造を用いた材料開発（実践編）	神谷利夫 (東京工業大学)
	昼食

1.バンド計算について

2.バンド構造の読み方: 有効質量、輸送特性

3.状態密度: 波動関数の可視化

4.バンドギャップ問題: 光学スペクトル

5.全エネルギー: 凝集エネルギー・生成エネルギー、安定構造

6.最近の話題

7.その他 (付録参照。基本的に質問として受ける)

　　欠陥形成エネルギー図の読み方 (チュートリアルWeb参照)

　　誘電率、電荷、水素位置、アモルファス、磁性、
　　界面、表面、仕事関数
　　相転移、・・・

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　第一原理計算による物性計算

第一原理計算

波動関数

エネルギー準位

全エネルギー

バンド構造

状態密度

光学スペクトル

電気分極

電子分布

自由キャリア密度

イオン化不純物

状態密度有効質量

磁性

化学結合の知見

結合当たりエネルギー (iCOHP)

変分原理: 全エネルギーの期待値 <ψ|H|ψ> を最小化する固有状態をみつける

k依存性

E依存性
第1B.Z.で総和

電気双極子遷移確率

<ψfin|x|ψini>

Berry位相

|ψ|2

𝒏_{𝒆}=\int_{𝑬_{𝑪}}^{\infty} 𝒇_{𝒆}(𝑬)𝑫_{𝒆}(𝑬)𝒅𝑬

𝒎^{\ast}=(\frac{𝟏}{\hbar^{𝟐}}\frac{𝝏^{𝟐}𝑬(𝐤)}{𝝏𝒌^{𝟐}})^{−𝟏}

cicj<φｊ|H|φi>

磁気物性、半導体物性: 移動度、キャリア濃度、電子伝導度、Hall係数、熱電係数

有効質量

p. 204/6

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密度汎関数法 (Density Function Theory: DFT)

Hohenberg-Kohnの定理

・簡単に電子相関を取り込める => 多体問題に適している

・全エネルギーは全電子密度の汎関数である

・形式的に、「交換相互作用」と「電子相関相互作用」の両方とも、
　全電子密度の汎関数として厳密に扱える

・ただし、汎関数の形を通して近似が入る

・実際の電子密度を再現する一電子系を解く問題に還元する　

外部ポテンシャルVext(r)中で相互作用しあう電子ガスの
全エネルギーは全電子密度(r)の汎関数で一意的に決まる

密度汎関数法 (DFT: Density Functional Theory)

多体問題を正確に、簡単に扱えるか？
　　Thomas-Fermiモデル：電子密度から電子構造を決定する

p. 201/3

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Kohn-Sham方程式

𝐸=𝑇_0[𝜌]+\int𝑉_{𝑒𝑥𝑡}(𝐫)𝜌(𝐫)𝑑𝐫+\frac{1}{2}\int\frac{𝜌(𝐫)𝜌(𝐫\prime)}{|𝐫\prime−𝐫|}𝑑𝐫𝑑𝐫\prime+𝐸_{𝑋𝐶}[𝜌]

𝑇_0[𝜌]

の形はわからないので、Schrödinger方程式の運動エネルギー形式にとる

𝜌(𝐫)=\sum_{𝑖} 𝜑_{𝑖}^{\ast}(𝐫)𝜑_{𝑖}(𝐫)

　　(一電子方程式がSchrödinger方程式に一致する)

変分をとる

相互作用の
無いときの
運動エネルギー

電子のポテンシャル
エネルギー

電子-電子
静電相互作用

交換相互作用
電子相関相互作用

Kohn-Sham方程式

(−\frac{\hbar^2}{2𝑚}\mathrm{\nabla}^2+𝑉_{𝑒𝑥𝑡}(𝜌(𝐫))+𝑉_{𝑒−𝑒}(𝜌(𝐫))+𝑉_{𝑋𝐶}(𝜌(𝐫)))𝜑(𝐫)=𝜀𝜑(𝐫)

p. 201/3

全エネルギー（Hohenberg-Kohnの定理）