それでは時間なので 統計力学Cの2回目の講義をやりましょうまたZoomで念のため録画を撮らせてもらいますさて 今日は第2回ということで 前回は熱力学の復習をやりましたが今日は具体的に統計力学の内容に入っていきます一番簡単な統計分布関数として ポテンシャルが一様である中で自由に運動している理想機体が どのような速度分布を持つかというマクスウェル分布をどのようにして導き出すかという 説明をしていきます講義に入る前に 課題について課題はルジャンドル変換と自由エネルギーの関係について述べようということです数行程度の説明でいいと書いたのが聞いたと思うんですが3分の1ぐらいの学生さんが 自由エネルギーをルジャンドル変換で変換できるという程度の答えだけでそれってこの問題文を言い換えただけですよねということで 課題はルジャンドル変換と自由エネルギーの関係について述べようということです次回からどういうふうに問題を出すかは考えますがもう少しどのような変換をするかぐらいのことは 答えてほしかったところではありますルジャンドル変換の話をする前に これも復習で思い出しましょう熱力薬では経験的にPVTと物質量NIの4種類の量を変数として状態を記述できるという話をしましたこの時 この4種類の変数には物質によって決まっている状態方程式の縛りがあるので実際に自由に変えられる独立変数は このうちの3種類だけですよという話もしましたということでこの独立変数と熱力薬関数 ここでは自由エネルギーのことですねがどのような関係にあるかということを 数学的に整理してくれるのがルジャンドル変換ですまずこれは完全に数学の話ですがxとyの2つの独立変数を持つ関数fxyを考えますfxyの全微分形式はdfイコールdx分のdf dxプラスdy分のdfdyですねこのように書いたとき 全微分形式がこのように書けるときにこのxとyのことを独立変数と呼びますというのが独立変数の数学的な定義ですここで変微分dx分のdfとdx分のdfを見にくいのでxとyに置き換えるとこの全微分形式は非常に簡単な形でdfイコールxdxプラスdyになりますねここで新しい関数gをfxy-xxで定義しますそうするとこの新しい関数gの全微分はxdx-xdxになりますこのdfをこちらの式xdxプラスydyで置き換えるとdgイコール-xdxプラスydyになります数学的に置き換えて遊んでいるように見えますがこの数学的な意味というのはgをfxyfx y マイナス small x large x と置き換えることによってlarge x と y を独立変数とする関数 g を作ることができますということですつまりどのような関数でも独立変数を置き換えることができますというのがルージャンドル変換の重要なポイントですね今ここまで話をしましたね前回ですね資料変数と試協変数には互いに協約な関係がある変数があって例えばエネルギーなどは協約変数同士の積で与えられることが多いという話をしましたここでその協約が出てきますここで関数 small f を通して新しい独立変数 large x ともともとの独立変数 small x はlarge x イコール dx 分の df の関係にあってこのような関係にある変数を協約変数と呼びますということであとネトリティ学的というか数学的な問題問題というか重要性としてはこのようにして変換したルージャンドル変換によって変換したfxy と g large x y に関して独立変数 y の数学的な寄与は等価である要は同じように変数 y から見て同じように扱うことができるということですねということである問題が与えられたときに fxy で解いた方がいいのか簡単なのか g large x y で解いた方が簡単なのかはどちらでも自由に選ぶことができるということになりますここまでは数学の問題次に熱力約関数自由エネルギーとの対応について見ていきましょうすでに説明したようにルージャンドル変換というのはsmall x small y を独立変数とする関数 f をfxy マイナス x large x つまりfxy マイナス small x dx 分の df に置き換えることによって変数を small x から large x つまり dx 分の df に置き換える変換ですこれを変えると vem 変換を行うことができますのでこのようにすると f x y マイナス e x マイナス x large x つまり e x y の df に置き換える変換ですこのような変換を行うことでこの例えば熱力学の第一法則から内部エネルギーUはDUイコールTDS-PDVの関係が第一法則から出てきますから内部エネルギーUというのはエントロピーSと体積Vを独立変数とする関数であるということがわかりますここで独立変数Sをルジャンドル変換によってTに置き換えることを考えてみましょうつまり断熱条件から低温条件に置き換えるということになりますねそうするとルジャンドル変換のこの式 もう繰り返しませんがに対応させてU-S×DS分のDUイコールえ?これは熱力学的な関係ですねTになりますのでU-STという関数を新しくラージFという関数に置き換えるとDFイコール-SDT-PDVという関係が出てきますこれはまさに先ほどまでルジャンドル変換をしていたのと全く同じ形になりますねこれによって関数ラージFの独立変数はTとVに変換されたということになりますこのことをもう一度言い換えれば内部エネルギー関数Uの独立変数はSとVでしたがヘルムホルツエネルギーFにFイコールU-STに置き換えることによって独立変数をTとVに変換したということになりますでは次に最後の行はおまけみたいなものですがこの全微分の式から-FイコールDT分のDFであるということは分かりますねさらにUの式からDV分のDUがやはり-PなのでDV分のDUイコールDV分のDFであるというのはこの元々の全微分の式からすぐに出てきますこんなことをいろんな熱力約関数で変微分間の関係を並べたのが熱力約で出てくる変微分方程式ですが全部いちいち覚えているわけにはいかないのでこのような形で整理していくことになりますね今UとFのルジャンドル変換の話をしましたが同じようにUとHを変換できますしHとGを変換するということもできますいずれにしてもルジャンドル変換という概念を知っていればこれらの熱力約変数というのは基本的には同じもので独立変数を変えた関数に対応しているということが分かってもらえると思いますそうするとどの独立変数をとって問題をどの独立変数をとって問題を解決するかというとといても構いませんが与えられた問題に対して解きやすい独立変数に対して解きやすい熱力関数が決まってくるのでその熱力約関数を使った方が問題を解きやすいですよということになりますというところまでがルジャンドル変換の話ですがここまでのところで質問はありますかなければ次にいきましょうレポート課題の問題の方は常に何か質問があったら書いてくださいということを出していますしこれからもその形で課題を出します例年だとあまり質問出てこないんですが今年度は結構質問を書いてくれてました最初の質問というのは前回の質問は前回過逆過程は現実的には現実的な時間の中で過逆過程を完結することはできないというような話もしましたがそれに対してじゃあ現実の世界で限りなく過逆過程に近い現象は起こり得るのかという質問でしたこれに対しては今あまり身近ではないかもしれませんが一番端的な例が不利行ですね昔は不利行を使って時計を動かしてました理由は何かというと不利行が単振動ですね単振動で揺れる周期というのは不利行の重さには関係なく一定であるということと不利行がエネルギー差異率が非常に小さいので非常に長い時間不利行が動いているということで不利行を時計に使うことを使っていたわけですがこのように不利行というのは時計を動かしているときに時計を動かしているときに時計を動かしているときに時計を動かしているときにまず摩擦などのエネルギー差異率がないさらに摩擦だから同じか空気がなければ空気抵抗もないので基本的に不利行というのは永遠に単振動を続けるので過逆過程になりますもう一つ過逆過程に近い機関としてスターリングエンジンというのがありますこれ東高大の博物館にも入っているのでもしかしたら見たことある人もいるかもしれませんがカルノーサイクルの原理を使って最もカルノーサイクルに近い効率が出ると言われている機関ですということでカルノーサイクルも外部に仕事を取り出さなければ過逆過程として働きますので過逆過程に近い減少機関としてはこの2つが大体上がるかなとは思いますがこの後に重要な注意があります過逆過程である以上は外部にエネルギーを取り出してそれで仕事をすることはできませんその時点で不過逆過程になりますつまり完全に厳密に過逆過程の機関プロセスだと私たちがそれが動いているということを観察することもアウトですしそれから仕事を取り出すエネルギーを取り出すこともアウトですエネルギーを取り出すということはもってのほかになります関連して永久機関という言葉も知っていると思いますが永久機関には第一種永久機関と第二種永久機関に特別して語られることが多いです第一種永久機関というのは外部からエネルギーを与えないでもエネルギーを取り出せるあるいは外部から与えたエネルギーよりも多くのエネルギーを取り出せる機関ですがそもそもこれは熱引き薬第一法則を破っていますので論外で存在しないということになっていますそれに対して第二種永久機関は外部からエネルギーを与えることもないけど外部にエネルギーを取り出すこともなく永久に動く機関ですねこれ自体は第一法則は破らないので問題はないですがちょっとでもエントロピーが増えるあるいはエネルギー散逸するかどうかという仮定が入っていれば第二法則によってエントロピーが増える仮定があれば第二法則によって実現はできませんというのがさっきのこちらの話に対応しますねフリコート系に使ってもスターリングエンジンでスターリングエンジン数年前ぐらいかなまでは自衛隊の潜水艦に使ってましたが潜水艦を動かした時点でエネルギー散逸をしてますのでそれが第二種駅機関になることはないっていうことですね他の質問でテストに関係しての質問ですがヘルムホルツエネルギー私の講義ではラージFの記号を使っていますが他の教科書はラージAを使ってる教科書がありますまた微分記号DQと変分記号デルタQは特別としてますよということを前回の講義で説明しましたがこれは必ずしも全ての教科書とか全ての教員研究者の中でこのコンセンサスが取れてるわけではありませんのでテストではどのように扱ったらいいかという質問ですがこれは熱力薬に限ったことではないですね記号を使う場合には必ず定義をして使ってくださいというのは回答にありますのでこのようなことになりますまたこの講義の評価は各講義会の演習と期末試験の評価で行えますという話をしましたがその割合を教えてほしいという質問ですが他の講義も多くはそうだと思いますが評価の詳細は未公表ですプラス期末試験で100点を取ったとしても演習を出さなかった場合に単位が取れるかどうかという質問ですが評価の詳細は別の問題ですその意味で演習と期末試験で評価を行いますという意味です最後の2つの質問というのは時間に関することでちょっと面白い話なので寄り道になりますがちょっとお話をしてみましょう1人目は熱力薬の第2法則によって過去にはいけないということは分かったとその他に熱力薬の第2法則から分かる面白い事象はありますかということですがすいませんすぐに思いつくのがちょっと出てこないですねただ熱力薬第2法則というのは絶対に成立しているかどうかというのはもう非常に長い時間現代までの物理学者の関心と議論の的の一つでありますなんで熱力薬第2法則が成立しなければいけないかというのが一つの問題ですということはいろんな面から検討されていてその一つの回答として前回の講義の最初に話をしたように多体系の量子力薬から熱力薬第2法則が自然に出てくるんだというような話があるということですねごめんなさいこれ以上のことは話はできませんが2つ目の話過去にはいけないけど未来にいけることはあるかという話でこれについても直接の回答にはならないけど時間というのは何かということをちょっと思い起こしてみましょうか前回の講義でまず温度とは何か内部エネルギーとは何か熱力薬や物理に出てくる物理量の概念というのは実は明確な反応があるということですが明確になっているとは限らないですね温度と熱ともう一つエントロピーについてどういう必要性があってどういうふうに定義してきてそれがなぜ今の定義として使われて便利に使えるようになってるかという話を前回しましたが時間も同じような経緯がありますもともと古代の人がなんで時間と熱力薬が同じような経緯があるのかという概念が必要になったかということを考えてみればもともとはこれが全てとは限らないとは思いますが特に重要なのが濃厚ですね濃厚するためには1年のうちの一定の期間の間に種をまいて一定の期間の間に収穫しないといけませんのでその時期というのが今なのか1ヶ月後なのかということを把握する必要がありますということで古代の時間っていうのは今自分がいる時間っていうのがどういうタイミングなのかということを把握しなければいけないということで暦が作られてきます暦を最初に作る時には自然現象を使うわけですね例えば太陽がどの位置にあるか太陽が365日ぐらいで大体元の位置に戻ってくるということを観察して積み上げていくと1年という概念が生まれてきますし月の位置月の形を見ていけば12ヶ月と1月を30日程度に区切るということが出てきますのでこの辺でこのような流れから単位歴・対応歴というのが成立してくるわけですので単位歴・対応歴というのが成立してくるわけですので単位歴・対応歴というのが成立してくるわけですのでただ一方で1週間とか1日の中の時間の区切りというのはもう点でバラバラですね特に中華圏のアジアでは1年を超えて12年とか60年という単位の読みというのもありますし日本でも1日を区切る時間というのは1つの時というのは常に一定だったわけではありませんということで昔の時間というのは地域や季節によって時間は異なるものだったんですねプラスその時というのを把握して民に教えてあげることによって支配者・領主とかは時間を支配するということができたわけです時間を支配するということができたわけですこの人によって季節によって変わるような時間という概念が完璧に変わったのがニュートンですねニュートンは運動方程式FイコールMAの中に時間が出てきますがある時間を決めてあげるとそれによって万物の運動というのは誰にとってもどこの場所においても同じ法則で表されるということで絶対時間というものがあるんだということを提唱して絶対時間というのは誰にでも共通しかも地上であろうが宇宙であろうが同じ絶対時間があるということを主張して実際にそれがニュートンの力学になってるわけですねこの時点でみんなに誰にも共通の時間という概念が出てきますその後時間の概念を完全に変えたのが1905年アインシュタインの特殊相対性理論です特殊相対性理論で何を言ってるかというと物理的な時間というのはニュートンが言ってるように誰にでも同じように流れているわけではなく同時というのも誰にとっても同時という時間っていうのはないんだとどういうことかっていうとある人Aとある人Bが同じ時間に流れているわけではなくそれぞれの時間の時間がお互いに動いているときAから見てBの時間っていうのは遅く進んでますBからAを見るとBから見たAの時間っていうのも遅く進んでいるこれが特殊相対性理論でいう相対になりますしかもこの時間は特殊相対性理論でいう時間というのは空間XYであるときに時間の変化によってローレンツ変換によって相互に変換されますつまりある運動をしてる座標形から見たとき違う運動をしてる座標形から見たときでは時間と空間っていうのはそれぞれが混じった形で変換されるっていうのがローレンツ変換なので特殊相対性理論によって時間っていうのは人によってというか運動している座標形完成形によって変わるのがローレンツ変換の形であるということと時間と空間は相互に変換されるということが分かりました分かりましたというか提唱されてこれは現在の標準ですねさらに相対論には固有時間っていう座標形に依存しない時間がありますが物理標定式を支配しているのはこの座標形に依存している時間の方ですそのために座標形の形を支配しているのはこの座標形に依存している時間の方ですそのために座標形の形を支配しているのはそのために今私たちはGPSを使って位置情報を把握したりあるいは時計をぴったり合わせたりということはできますがそれをやるためには地球の周りを飛んでる人工衛星から信号を拾って位置を決めるわけですがその際に人工衛星が高速で飛び回っているので相対論の時間を支配しているのは正確な位置に今できませんその変換をすることその補正をすることによってGPSはきちんと機能しているということで特殊相対性理論についてこのオーダーの減少について特殊相対性理論が間違っているというような実験的な事実はありませんということで私たちの時間というのはこういうものなんだ時間と空間というのもお互いに絡み合っているものなんだというのが20世紀からの物理学の常識になりますまた物理的時間については物理方程式ニュートンの運動方程式やシュレディンガー方程式すべての方程式が時間に対して可逆になることがありますのでこれが逆的ですつまりTを-Tに置き換えても方程式の形は変わりません未来に進んでいる運動というのはある時点からTを-T側に振って運動方程式を解いていけば過去にも戻れるということで可逆的と言いますがここで熱力学的には私たちは時間というのは未来にしか変わっていないということを認識しているとそれを支配しているのは何かということでエントロピーは必ず増大していかなければいけないということでエントロピーが時間の方向を決めているんだという考え方がされますまた物理方程式は可逆的とは書いていますが量子力学には不確定性原理がありますさらに電子がどこにいるかというのは観測をしてみるまでは確率的にしか分からなくて観測をした瞬間に電子がどこにいたかというのが分かるその時点で波動関数は収縮したという言い方をしますこれをもって量子力学的に未来の予測というのはできないとかあるいは観測をするたびに違う世界に分岐していっているんだという多世界解釈なんかがありますがこれについて深入りするのは僕にはできませんしこれらが正しいかどうかも誰も分かりませんこれらはこういう時間の考え方があるんだというくらいに捉えておいてもらえればなと思いますさらに現代の素粒子論では例えば量子力学ではエネルギーが理算的になります等の話が出てきたときに特殊相対性理論 一杯相対性理論量子力学 その後の素粒子理論 宇宙論をひっくるめた大統一理論を作る際に時間と空間も理算的でないとちゃんとした無矛盾の理論ができないんじゃないかと考えています時間も空間も実は連続に変わりうるのではなくて理算的なのではないかという考え方もありますこの時の空間の理算長の長さとしてはプランク長10-35m時間としてはプランク時間10-44s時間としてはプランク時間10-44sあてはまるんじゃないかという話があるここでは捉えておいてくださいいずれにしても私たちは 知ってる時間というのも単純なものではないのと空間と相互に変換されるということで空間と時間というのは一体何なんだということは現在になってもというよりも現代になってなおのことを現代になってもというよりも複雑な疑問となっていますこの時間と空間の問題を考えるときに私たちがまず空間の移動をどうやって認識しているかということから考える必要が出てきますが私たちがここにいるのかここにいるのかということを把握するのに何をしているかというと私たちがいる場所の周りを観測したりあるいはGPSなんかでここの位置座標を測定することによってこの座標に行って次の瞬間に動いたということが把握できるつまり何らかの物理現象により位置を測定することによって私たちは空間を移動しているということが判断できるわけですねそれだったら時間がまず空間の位置を測定することによってさっきと今の時間が違っているということをどうやって認識しているかという問題ですがこれも基本的に同じです何らかの物理現象が変化していることによってさっきとは違うんだと認識しているわけで空間の移動も時間の移動も変化する物理現象がない限り認識ができませんというのが一つ重要なポイントですねただこのことを逆にとって認識できないつまり物理現象が変わっていないときには時間が流れていないのかというとそれは必ずしもそういうわけではないはずですねこの辺ももはや哲学の話になっていくのでこの辺で止めておきましょう時間の移動方向についてはこちらの方に進んでいる時間が正しいんだということをどうやって認識しているかというとこれが一つのポイントですそれがエントロピーの増大ですねこのようなややこしいことを理解して時間が前に進んでいるということを私たちは認識しているわけじゃなくて経験的に周りの自然現象を見ていたらこっちの方向にしか進まないつまり乱雑さが増える方向にしか進まない現象があるということを私たちは経験的に知っていてそれを見ているから時間がこちらの方向に進んでいるんだその逆の方向に進まないということをそういう意味で次のポイントで話を行いたいとおりですが次のポイントで話を行いたいとおりですが次のポイントで話を行いたいとおりですがその逆の現象というのは経験的に起こったことはないということで、逆方向に時間が動いたことがないということを考えているのかもしれない。この後、次の問題として、物理方程式は時間に対して過逆的です。つまり、実は私たちの世界では、ある瞬間には物理法則が巻き戻って、時間が巻き戻って過去に行ったことがあるかもしれません。が、その時に私たちは自分が過去に行ったことがあるということを認識できるかという問題になります。しかし、物理の方程式を巻き戻しているので、私たちが現代の記憶を持っていた場合、過去に行った部分も巻き戻って、過去に戻った時にはその記憶はそもそもないはずです。ということで、過去に戻ったことがあったとしても、現在の記憶が残っていないので、現在を認識できなければ、過去に行ったという認識も当然できないわけですので、物理方程式に沿って時間を巻き戻ったとしても、過去に行ったと認識できるということは、論理的にはないはずです。よく漫画や映画でタイムマシンのパラドックスが出てきますが、この時にパラドックスが生じているのは、時間を飛んだ私が、過去や未来、あるいは物理の法則とは離れて、独立な存在として、現在と過去と未来を認識しているから起こる現象に、なります。そもそも、ということで、この過去に行く話については、ちょっとここで止めておきますか。そうすると逆に、時間が早送りになることがあったとして、未来に行ったということを認識できるかという問題になりますが、時間が早送りしているときは、自分自身のあらゆる物理現象は、同じように早送りされているわけです。そうです。そうです。そうです。そうです。そうです。そうです。そうです。そうです。そうです。そうです。そうです。早送りされている時間というのを、今までの普通の時間と区別できるかという問題があります。これについても、できないとも言いませんし、できるとも言いませんが、このような問題があるので、時間を飛んだ、過去に行ったり未来に行ったりしたときに、それをどうやって認識するかということを考えるのも、科学的に、タイムトラベルを考える際には非常に重要なポイントになります。ということで、統計力学の講義とはちょっと外れますが、学生さんからの質問、ぜひ関係ないような質問でもできる範囲で、また正しいかどうかわからないところも注意しながら答えていきたいと思いますので、遠慮なく質問をしてくださいな。また、統計力学の前半ですね。この後お話をするように、基本的に3つの統計分布関数をこれから学びます。その3つの統計分布関数のことを理解して、どのように使ったら物理量が計算できるのかということを把握してくれれば、私の前半の講義はそれだけで基本OKです。それをどのように導出するかというのは別の問題なので、そこまでは数式や導出方法をマスターしてもらおうというふうには考えていませんので、そんなことをやるくらいだったら、こういうちょっと外れたような質問や話題を取り上げたほうがいいかもしれませんので、そのような考え方をしてください。では、次の質問に行きます。では、次の質問に行きます。では、次の質問に行きます。では、次の質問に行きます。統計分布関数について理解してもらうことが一番重要な目標だという話をしました。これから一番簡単な速度分布関数について勉強していきますが、速度分布関数も含めて統計分布関数というのは、エネルギーに関して指数関数の形になっています。それがなぜなのかということを答えてくださいというのが課題1ですね。それから、課題については、また質問があれば書いてくださいということで、提出期限は日曜日一杯にしますので、T2スカラーから出してください。ということで、ここから今日の講義に入っていきましょう。前回の講義では、熱力学と統計力学の違いについて説明をして、熱力学では、熱力学と統計力学の違いについて説明をして、熱力学では、教えてくれない微子的な状態、原子や電子の状態から熱力学関数へのつなぎをする、あるいは電子や原子の状態から物性量の統計平均、期待値を計算するのが、統計力学の役割だという話をしました。ただ、それをやるためには非常に厄介な問題があるんですよという話もしています。ただ、それをやるためには非常に厄介な問題があるんですよという話もしています。ただ、それをやるためには非常に厄介な問題があるんですよという話もしています。まず一番最初に出てくるのが、物質を構成している原子や電子の数というのは非常にたくさんあります。代表的な数字をとると、アボガドロ数個の10の23乗個の原子や電子の連立方程式を正確に解いていけば、この問題は解けるということになりますが、実際にはこんなことで実行不可能だということは理解してもらえると思います。そこで統計力学では、個々の粒子の運動を時間ごとによって理解していくことは完璧に放棄します。時間に沿って解くことを放棄した代わりに、それを統計的な平均として扱うというアプローチをとります。ということで次のスライドですね。統計力学ではまずKの時間変化は調べません。つまりニュートンの運動方程式は出てこないです。その代わり、時間変化をとる代わりに、異なる物理的な状態を集めた統計集団、これをアンサンブルと言いますが、アンサンブルを作って、その確率分布を決めて平均値をとる、期待値をとることによって測定される物性量と対応させるというのが統計力学の考え方です。ということで、この違いというのをまずさせていただきたいと思います。この違いというのをまずさせていただきたいと思います。まず最初に飲み込んでください。時間変化については追いません。その代わり、違う物理的状態というのをたくさん考えて、その統計平均を考えていくということですね。じゃあ、この異なる物理状態Xというのはどうやって規定するか。物理状態っていうのがそもそもどういう変数によって指定して区別できるかっていうことが、対象に決まっていないと異なる状態を集めて考えるっていうこともできませんね。ということで、これも経験的に粒子が集まった物理系の物理的な状態っていうのは、それぞれの粒子の座標と運動量を独立変数とすることで、物理的状態を一時的に考えることができるので、とりあえず、目標の変数は必要です。それから、その変数を集めていくこともできるようになります。なので、この4つの問題を解説していきたいと思います。次に、3つ目の問題については、数値の変数と運動量を変わっていくことです。これを解説していきたいと思います。状態を一時的に指定できるというのは、これが統計力学の一番大きな、一番大きなというか基本的な仮定の一つです。ここで、粒子の座標だけでいいんじゃないかという疑問も出てくると思いますし、あるいは粒子の座標と運動量、つまり速度ですね、粒子の時間微分の2つだけで十分なのか、加速度はいらないのかという疑問も出てくるかと思います。が、この座標と運動量を使うことで一時的に物理的状態を指定できるということで困ったことがないということが、これらが独立変数であるという経験的根拠になっています。もうちょっと、物理的な話で説明するなら、ニュートンの運動方程式もシュレディンガー方程式も、時間に対しての2回微分方程式、ごめんなさい、シュレディンガー方程式は1回微分方程式ですね。ただ、位置については2回微分方程式です。ということは、Kの状態変化を決めるのに、未知変数、積分定数というのが必要になってきますが、例えば、例えば、例えば、1つの粒子の運動を決めるためには、最初のある時間Tイコール0における位置だけでは決まらなくて、Tイコール0における速度Vが必要ですね。これでXとVが決まると、運動状態というのを一時的に決めることができます。ということで、二次方程式によって支配されているということで、1粒子あたり6個の、道定数を決めなければいけないということで、6個の変数が必要ということも分かると思いますし、6個の変数が決まれば、Kの時間変化というのも決まるということも直感的には分かってもらえるかなと思います。いずれにしても、この後の統計力学の講義は全て、座標と運動量、あるいは座標と速度を独立変数として、物理状態を決めることができるかもしれません。この後の統計力学の講義は全て、座標と運動量、あるいは座標と速度を独立変数として、を指定していきます。さらに、N個の粒子がある場合に、それぞれの粒子の座標と運動量、あるいは座標と速度、つまり6N個の独立変数を考えるわけですが、この6N個の物理量を独立変数とする6N次元の空間のことを、移送空間として、移送空間と呼びます。移送空間というのも慣れない言葉なので、これだけで敬遠されると困るのですが、今話をしたように、座標と運動量、あるいは座標と速度を、もっと大きな枠組みの座標とする空間を、高次元の空間を数学的に考えてくれるという程度に、気楽に考えてもらえればなと思います。そしてこれからどのようなことをやっていくかというと、N個の粒子がある系を考えて、その系というのは、N個の粒子の座標と運動量を決めると、一つの物理的状態が決まります。一つの物理的状態は決まりますが、一つの物理的状態が決まりますが、一つの物理的状態が決まりますが、座標と運動量が異なる別の物理的状態というのが、無数に出てきます。それらの異なる物理的状態を、全部頭の中で数え上げて、その中で確率的に最も出やすい分布が、私たちが実際に測定している物理的状態として、現れるというか観測されるということで、そのような物理的状態を、物理的状態が現れやすい確率の分布関数として、統計分布関数を求めるという作業をしていきます。このように書くと、ものすごい複雑な計算をやって、統計分布関数を導出するように思いますが、実は、今日最初にこれから説明するように、実はこの統計分布関数というのは、物理方程式のことを全く分からない、物理方程式のことを全く分からない、物理方程式のことは全く分からない、つまり、ニュートンの運動方程式を使うのか、シュレディンガー方程式を使うのか、あるいは、もっとソリューシー論の中間子の運動方程式を使うのか、といったことに関わらず、そんなことを考えなくても、統計分布関数は決まります。これが、正順理論と呼ばれるものになりますが、これについて、なんでそんなことが起こるのかということを、ちょっと身近に感じられる例で説明していきましょう。これは2017年に、Webマガジンで出ていた記事を拾ってきたものですが、100人を一つの部屋に集めます。その中で、例えば、1人に100ドルずつ、まず持たせて、その後、合図をするごとに、適当なパートナーを見つけて、適当なパートナーに1ドルずつ渡すということを、何回も何回も繰り返していきます。そうすると、それぞれの人が持っているお金は、どうなるでしょうか、という問題ですね。これ直感的には、1人100ドル持っているので、平均値は100ドルなので、回数を繰り返せば、みんなが持っているお金は100ドルになって、平均化されそうに思いますが、実際は全く違う結果になります。これについては、私の講義のWebサイトで、Pythonのプログラム、ランダムトレードというプログラムを公開しているので、興味のある人は、動かしてみてもらえればなと思いますが、実際にちょっと、やってみましょう。スライドショートめ。例えば、このスライドにある、このコマンドを実行してみます。これは、200人に50ドルずつ渡して、1ドルずつ交換するというのを、1万回行いますよ、というコマンドになりますが、これを実際に、25条に3ケ月給付しています。そして40ですね。そして20万円を出してようと思います。8 !!最後になります。ちょっと。店舗のピーの中にあるものはちょっとこれが動かしています。これが20万来るのですね。この。ね、1,2,3,4、、、やっと、、、やってみます。棒グラフで順番を並び替えたのはこれこの右下の方は例えば100ドル持っている人というのがどれくらい割り合いでいるかというのをその都度計算したのがこの青線ですね結構早く終わっちゃったなもう1万回の計算終わってますがこれを見てわかるようにみんな平等な条件で一度ずつを交換しているはずですがそれぞれの人が持っているお金というのは100ドルに平均化されるどころか貧富の差が確実に開いていきますある人ここで10人ぐらいの人は0円になっていて一番トップの2,3人の人ですね150ドル以上のお金を持っているという結果が出てきますこの結果を横軸に持っているお金に対して確率分布を取ったのがこちらの青線になりますがこれはこれから学んで頻繁に出てくるボルツマン分布と同じ形になります指数関数ですねということであのーえっとえっとえっと社会に関する話でもありますが機械平等という言葉よく使われますがみんなが完璧に機械平等を守って何かアクションを起こし続ければ貧富の差は拡大していくということですねあのこの辺も機械平等という言葉の意味が実際とは違った形で理解されていることが多いという例の一つになりますえっとこれが何で統計力学の話と対応するのかということをちょっと考えてみましょう今の問題というのはN人の人がいて全財産Mトータルを分け合いますそれぞれが出会うつまりそれぞれの人が衝突するたびに小さな金額が出てくるとその小さな金額を交換していくと最後にはどのような財産分布になるでしょうかというのが今の問題でした最終的な答えとしてはエクスポネンシャル-Mの平均分のM上で分布しているんだという結果が出ましたね持っているお金に対して指数関数で統計分布関数が決まっているということですこれを物理の問題と対応させてみていくと温度Tがここから最初出てくるとややこしいけど温度っていうのはエネルギー平均と等価であるということをまず最初にインプットしてくださいエネルギーの平均値っていうのはKBTに対応しますそうすると温度Tあるいはエネルギー平均EにおいてエネルギーEを持つ電子はどれくらいの割合いるのですかということがこの文章と対応しますね下の文章の方はもうちょっとちゃんと対応させてますかN個の粒子が全エネルギーEトータルを分け合います電子が衝突するたびに小さなエネルギーデルタEを交換していくと最後にはどのようなエネルギー分布になるでしょうかこれで日本が完全に対応してますね一人当たりの財産Mの平均値っていうのがエネルギーの平均値ですからKBTですそれに対してエネルギーEを持つ電子の割合っていうのは上の式と完全に対応してエクスポネンシャル-KBT分のE乗になりますこれが統計力学で最も重要な統計分布関数正順分布とかボルツマン分布って言われてるものですねということで統計分布関数っていうのは実はエネルギーさえKの全エネルギーを与えてしまうともう中身を細かく考えることなくエクスポネンシャル-KT分のE乗で決まってしまいますただ最初からもう頭ごなしでこのエネルギーを持っているとこのエネルギーを持っていると最初からもう頭ごなしにもうこれで決まっちゃうんだよっていう話をしても具体的なイメージが湧いてきませんのでこの講義では3段階に区切って今のボルツマン分布が出てくることを説明していきますこれも何回も言ってますが私の前半の講義の目標はとにかく3種類の統計分布関数を理解してもらうことです3種類の統計分布関数というのはこの黒のマクスウェル・ボルツマン分布今出てきたエクスポネンシャルの形ですねそれとフェルミ粒子が従うフェルミディラック分布関数FFDと書いてあるこの形とボーズ粒子が従うボーズ・アインシュタイン分布この3つですこの3つの関数の形とこのグラフの形特徴的な分布関数とこのグラフの形がこの3つの関数の形とこのグラフの形がこれらの3種類の統計分布関数はどのような場合にどの統計分布関数を使って問題を解いていくかということをきちんと理解してもらえればそれだけで前半の講義は十分ですさて今統計分布関数というのは細かいことを何も考えなくても答えが出てくるんだという話をしましたがそうは言っても全然これじゃ何をやっているかイメージ湧かないんですねということでこれから統計分布関数ボルツマン分布をこの1 2 3の順番でそれぞれの考え方で同じボルツマン分布の形が出てくるんだということを1回ずつの講義を使って説明していきます一番最初今日は自由離相機体つまり機体分子同士が相互作用していなくて外部ポテンシャルが一様である場合この時は空間がXYZ方向に完璧に同じですからその空間対称性を使うだけで統計分布関数が出てきますこれを今日これから学びます次の講義はもっと数学的になります確率論を導入して異なる物理的状態というのを頭の中で数えてその中で同じマクロに見て同じ物理的状態になる数これを配置数と呼びますが配置数が最大になる状態というのが実際に観測されるという過程をもとに統計分布関数を導出していきますこの時には外部ポテンシャルがあっても構わないということで必要な空間でない場合にも使えることを場合にもボルツマン分布が使えることを確認していきますただし自由離相機体つまり機体分子同士は相互作用しないということを前提に話をしていきますので一般的な分子分子の使用方法はこのようにしていますので一般的な場合に使えるかどうかはこの時点では分かりません最後に粒子間にどんな相互作用があってもいいですよ外部ポテンシャルがどうであっても構いませんよという状態でも成立する整順理論を使ってボルツマン分布を導出していきますこの1から3まで結局最後はボルツマン分布が出てくるのですがこういう違った過程を使ってボルツマン分布を導出していきますのでそれから導出してもどの場合でもボルツマン分布が出てくるのだということを納得してもらうというのが今日から3回の講義の目的になりますということでここまでのところに何か質問あります?質問は以上です質問は以上です質問は以上です質問は以上です質問は以上です最後に整順という言葉について説明しておきますかこれも最も日本語っぽく聞こえない日本語ですね元々の英語はcanonから来ているということでcanonというのは根本原理ですねということで根本原理から構成された一般性の高い理論を使っているということです一般性の高い理論のことを整順理論と言いますこれを聞いてもまだよく分からないと思いますが整順理論ではない理論というのはどういうものかというと例えば物体の運動というのはニュートンの運動方程式に従うとすればその運動というのは予測できますがこれはニュートンの運動方程式というものを前提として仮定しているのでこれは整順理論とは言いません特殊相対性理論であろうが量子力学シュレディンガー方程式であろうが何らかの大きな仮定が必要になりますそれに対して整順理論というのはこういった細かいと言ったらあれですが特定の物理理論物理モデルに依存しない一般性が高い理論のことですということで整順と言ってしまうととにかく細かいことを考えずに何でもかんでも成立するようなものですそういったような理論のことをイメージしてもらっても大体的に的外れではないと思いますということで今日の本題ですね理想気体の速度の分布関数をこれから求めていきますこのような理論のことを気体分子運動論とか分子運動論と呼びますが教科書では3章に対応しますねそれで先にこれから導出していくマクスウェルの速度分布式というのがありますがそれについてのまとめを先にしておいた方がこれからの議論を追いかけやすくなると思いますので先にまとめておきましょうまず仮定としては理想気体を考えますが単原子分子の理想気体でN個の粒子が分子があるというものですが一種類だけの分子だけでできています理想気体ですから分子同士に相互作用はありません相互作用がないということは分子同士で衝突することもないしエネルギーを交換したり運動量を交換したりすることもないということですねそうすると物理的状態 統計分布関数というのはさっき説明したように物理的状態というのは物理的状態というのは 物理的分布関数というのは物理的状態というのは各粒子の位置と速度あるいは位と運動量を決めると一時的に物理的状態が定まると言いましたここでは分子の位置 xyz と速度 vx vy vz を各粒子ごとに決めてあげると物理的状態が一時的に決まるということになりますさらに分子の運動は古典力学に従うという仮定がここでは入ってきますただ古典力学に従うと言っても外部ポテンシャルはゼロで一様なので各粒子のエネルギーというのは1mv²2乗ですよというこの一点だけですポテンシャルは一様なので分布関数は r にはもう依存しなくなるので分布関数は vx vy vz だけの関数になります分布関数は r にはもう依存しなくなるので分布関数は vx vy vz だけの関数になります分布関数は r にはもう依存しなくなるので分布関数は vx vy vz だけの関数になりますさらに空間が等方的つまり vx vy vz 方向に同じという空間が等方的であるという仮定をします空間が等方的であるという仮定をします空間が等方的であるという仮定をしますそうするとまず速度は vx vy vz であろうと物理的状態というのはここですねエネルギーの1mv²2乗で決まっていますからエネルギーの1mv²2乗で決まっていますから統計分布関数はV事情だけの関数になります。V事情というのはVX事情足すVY事情足すVZ事情ですね。さらにX方向Y方向Z方向、VXとVYとVZというのは、それぞれの粒子を当てんで勝って好きな方向をとっていますので、それぞれは独立な関数として表されます。ということで、FV事情イコールGVX、GVY、GVZというG関数の積として表されるということが導かれます。ここまでくると、ちょっとここにうまいこと、VX、VY、VZの辺、変換をしていくと、FV事情というのは定数A×exponential-αV事情の形になりますよということが出てきて、これがマクスウェルの速度分布関数の最終的な解になります。さらに、未知定数Aとαを決める必要がありますが、これは理想期待の状態方程式を対応させることによって決まって、これからマクスウェルの速度分布関数を導出する流れになります。いずれにしても、仮定としては、分子値のエネルギーが1mV2乗で与えられているということと、空間が等方的で、XYZ方向の区別がない、分布関数がXYZ方向に独立事象であるという仮定だけしか使っていない、なので、マクスウェルの lF は當分同しているだろう。合計の一直cia区分布一致の場合、まず1まずC仮定を読むと、時間A 編成を行うと、12346Vx,Vy,Vzの速度成分は互いに独立ですよということで、Vx,Vy,Vzを持っている確率Fというのは独立事象の確率ですから、Vxを持っている確率とVyを持っている確率とVzを持っている確率の積で決まります。これは確率の定理というか問題ですね。その次、等方性を使います。三方向Vx,Vy,Vzの速度分布関数は同じじゃなきゃいけません。ので、GVxイコールG'VyイコールG'Vzということになりますね。さらに空間が対象なので、座標形あるいは空間を回転させても結果は変わってはいけません。ので、確率分布関数Fは座標形の角度θ,φには依存せずに、Vの絶対値だけの関数になります。ここまで来ると、Fというのは、ここではVの絶対値の関数と書いてありますが、話は式展開が楽になるのでV次乗の関数ということにしましょう。そうすると、F、V次乗イコールVx次乗、Vy次乗、Vx次乗は、この仮定位置1'を使ってGVxに次乗をかけるGVy次乗をかけるGVzの次乗という形で書き表されます。ここの間で、独立変数をVxからVx次乗なんかに勝手に変えたりしてますが、この辺は適宜頭の中で置き換えていってください。式を書きやすいのと展開が簡単になるので、時々、変数を何も注意せずに置き換えることがありますが、その辺は容赦してください。いずれにしても、この3.7'式というのが空間対称性から出てきます。じゃあ、この方程式だけからFが決められるかという問題になります。この辺になると、大学の数学の入試問題でも出てきそうな問題です。まず最初に、Vx、Vy、Vzは何をとっても成立しなければいけないので、VyイコールVzを0に置いた場合を考えます。この時、G0というのは定数なので、ここで定数Aと置きましょう。とやると、FのVx次乗、これVy次乗とVz次乗0ですから、FVx次乗はA次乗かけるVx次乗です。FVx次乗はA次乗かけるVx次乗です。FVx次乗はA次乗かけるVx次乗です。FVx次乗はA次乗かけるVx次乗です。FVx次乗はA次乗かけるVx次乗です。ということで、Gの関数系とFの関数系は、A次乗分の1を定数、係数として1対1対応するということが出てきます。同じことをやると、GVy次乗とGVz次乗についても同じ関係式が出てきます。そうすると、また3.7'式に、このGVx次乗、Vy次乗、Vz次乗を入れると、V次乗というのは、A6乗分の1かけるFVx次乗、FVy次乗、FVz次乗という関係になることがわかります。ここでV次乗を変数にとっていると、見通し悪くなるので、これをVx次乗は具材、Vy次乗はイーター、Vz次乗はθで置き換えてあげます。そうすると、V次乗は具材プラスイータープラスθ、この方程式は、FVx次乗プラスイータープラスθイコール、A6乗分の1かけるFVx次乗かけるFイーターかけるFθになります。と、ここまできました。そうすると、次にまた、具材とイーターとθが全て0の場合を考えます。そうすると、F0はA6乗分の1かけるFθ、A6乗分の1かけるF0かけるF0かけるF0、ということで、これでA3乗が決まります。A3乗イコールF0ということが出てきますね。その次に、具材とθを一定として、イーターで2回微分をとります。そうすると、Fw'イコールA6乗分の1の1となります。そうすると、Fw'イコールA6乗分の1の1となります。そうすると、Fw'イコールA6乗分の1の1となります。そうすると、Fw'イコールA6乗分の1となります。Fw'イコールA6乗分の1の1となります。AmゆじかてからQmのAくんのF Steuerが threatsa。AmゆじかてからQmのериianoの wollteこちらで、AmゆじかてからQmのериianoのleistst、AmゆじかてからQm4をquo jesteleと NiNo是 matkeeperef Shamperges스를ksandO� Jam RAoSexucyteのk端間の権利と regret cutに対して知られておりますように、AmゆじかてからQm4のeriianoの Gulf nam xavyb искしあつ intersection of theUSA between k and the серьез sections fotie xA1の取りあえず、ここでイーターとθを0に置き換えてあげると、fw'θ具材、fw'具材イコールa6乗分の1、fw'0f0×f具材ということで、関数になっているのは、このf具材の2回微分とf具材だけなので、2回微分方程式に直りました。そうすると、この2回微分方程式の解というのは一撃で出てきますね。ということで、この2回微分方程式の解というのは、方程式を解くときの鉄板ですが、fというのは指数関数か三角関数しかありません。三角関数が解になる場合には、この定数がマイナスになります。そうすると、一般解としてf具材というのは、定数A×sinβ具材プラス定数θになりますが、これは、beta具材プラスθの値によっては、sinがマイナスになりますが、今求めているのは確率分布関数なので、マイナスは出ちゃいけません。ということで、三角関数のこの解というのは、はっきりされています。ということで、このa3乗分のfw'0が正の場合の解としては、指数関数だけが残ります。指数関数として、a×exponentialプラスα具材というのが出てきますが、これは、具材が無限大になった時に、確率は無限大に発散してしまう。確率ですから、あり得る変数について全積分をとった時に、1にならなきゃいけませんから、発散するのはあり得ないということで、exponentialプラスα具材上というのも、はきさとして、無限大になってしまう。ということで、最後に残っているのが、A×α具材乗になります。これは発散することもありませんし、マイナスになることもありません。積分とれば、ちゃんと定数に収まります。これが最後に残った確率分布関数になります。具材はVxの次乗です。どこで書いた?ここですね。具材はVxの次乗です。ですので、FVxの次乗は、A×A×Vxの次乗ですが、FのV次乗は、FVxの次乗×FVyの次乗×FVzの次乗ということで、改めて定数項をAと置き換えて、FV次乗はA×A×A×V次乗という分布関数が出てきます。というのが、速度Vに関する確率分布を表す、マクセルの速度分布関数の導出方法と最後の結果です。ここまでのところ、騙されたような気になっている人もいるのではないかと思いますが、改めて、質問とか、ここの部分よくわからなかったので、もう一度ということがあれば聞きたいと思いますけど、大丈夫ですか?いずれにしても、ここまでのところで、統計分布関数の空間が対照的であって独立であるということだけを使って、ここまでの結果が導出されたと、されていたということになりますね。ここでまとめを繰り返すと、また3回同じことを言うので、改めてまとめるのはやめておきましょう。あと残った問題というか、攻撃時間があとどれくらいあるかというと、25分ぐらい。十分ですね。あと残った問題としては、極度分布関数FVは、A×A-αV以上ということがわかりましたが、ここで定数Aとαっていうのは何なんだっていうことになります。ここで統計力学では、ここに出てくるようなAとαだけを独立で決めることができません。というか、実際問題としては、実験結果と対応させれば、このαとかAっていうのは決めていけるわけですが、そんなことをしなくても、私たちはすでに熱力学での知識があります。ということで、熱力学で確定している結果を使って、このαとAを決めていきましょう。まず最初の条件として、このVx、Vy、FVというのは、確率分布関数になっていますから、あり得るVx、Vy、Vzについて全積分をとったら、kの粒子数になっていないといけません。ということで、Vx、Vy、Vzについて、全空間積分をとってあげます。そうすると、非積分関数は、A×A-αV以上。A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×Vxの次乗、Vy自乗、Vz自乗で、それぞれVx、Vy、Vzについて、独立に積分をとってあげることができるので、これも数学の問題でよく出てくる、ガウス関数の全積分をとって、3乗をとってあげればいい、ということになります。ガウス関数の積分は、exponential-αx乗-無限大から無限大まで積分すると、α分のπの1乗と出てきます。これ丸暗記してもいいですし、導出するのもそんなに難しくはありません。いずれにしてもここではこの結果だけを使いましょう。ということで、kの流出数がnに一致するという条件を使って、さらに1体積あたりの流出数、つまり分子数密度、v分のnに直してあげると、v分のnイコールラージエイかけるa分のπの2分の3乗という関係式が出てきます。ということで、今、未知変数を使ってみました。未知定数はラージエイとαの2つありましたが、1つ関係式がここで決まります。その次、分子の速度が与えられているので、圧力を計算してみましょうというのが次の問題です。圧力の計算も物理科学の典型的な問題ではありますが、ここであまり細かいことを追っていかないといけません。この問題は、どのような手順で圧力を計算していくかということを追って、結論を見ていきましょう。まず、圧力を計算するときに、このkにはvx、vy、vzの速度を持っている分子がn個ありますよという、そのn個の分子が体積分位の中に入っていますよという状況を考えます。圧力を計算する際に、x平面、つまりyzで張られる平面にかかっている圧力を計算します。そのときの圧力の計算というのは、ある速度vを持った分子がこのx平面に断制し、衝突して跳ね返ります。そのときの、運動量の変化が圧力になるという力学の運動量変化の式を使います。ということで分子の速度VというのをVx,Vy,Vzに分けて、断正衝突によってVxだけは-Vxに断正される。Vy,Vzの成分は分かりません。これまた間違っている。ということでVyは変わらずVzも変わりません。そうすると壁に当たって断正衝突した際の運動量変化というのはX方向だけに発生していて、それが-2mVxです。これが運動量変化ですね。それでは次に単位時間において、X平面に衝突して分子の運動量が変化した分がX平面に対して圧力をかけるわけですが、その時の全運動量の変化、時間変化を計算してみましょう。これが時間あたりの運動量変化、dt分のdpになります。ということでまず頭に、-2mと統計分布関数が出てきます。-2mと統計分布関数のa。微小面積dsにかかる運動量変化を計算しますので、面積dsがかかってVx,Vy,Vzに対しての全積分をとりますが、Vxに関してはプラス方向のVx成分を持っているものしか壁には衝突しない。壁には衝突しない。壁には衝突しない。壁には衝突しない。壁には衝突しない。壁には衝突しない。壁には衝突しないので、0から無限大の範囲で積分をとります。統計分布関数の方は、ラージエーかけるエクスポネンシャルマイナスアルファVの事情ですが、この時に運動量変化がVxあります。プラス、単位時間に衝突する分子というのは、Vxを持っている成分の対策を、対策、つまりDSかけるVxの対策の分子が衝突しますから、それをかけてVx事情が出てきます。ということで、次に圧力Pというのは、壁にかかっている力を、力の力を単位面積で平均と割ってあげることで出てきます。ので、圧力Pイコール-DS分のDF。DFは、運動量の時間変化になりますから、-DS分のDかけるDT分のDPでここを置き換えます。とすると、ここのDSが消えてマイナスが消えますので、圧力Pは、2MラージエーかけるDVxかけるDVx事情かけるエクスポネンシャルマイナスアルファVの事情です。アルファVx事情上。で、Vyの積分が、エクスポネンシャルマイナスVy事情上をVyで全積分。Vzについても同じですね。この最後の2つはまた、ガウス積分になります。頭のVx事情かけるエクスポネンシャルマイナスアルファVx事情上の積分は、ガウス積分をアルファで微分とってあげると簡単に求まります。ここでは結果だけいきますが、Vxが0から無限大の半無限積分の定積分の値は、1かけるアルファの3乗分のπの2分の1乗です。これに、ガウス積分のa分のπの2分の1乗の事情をかけてあげると、圧力イコール、2アルファ分のMラージエーかける、アルファ分のπの2分の1乗の事情をかけてあげると、2分の3乗と出てきます。ここで先ほど、全粒子数の関係式から求めた、V分のNイコール、aかけるa分のπの2分の3乗という式を使ってあげると、圧力Pイコール、V分のNかける、2アルファ分のMという関係式が出てきて、これでアルファが、PとNVとの関係で表されているわけですね。ということで、ここで、Nを1モルトする、別に1モルトしなきゃいけない理由もないですが、見やすくなるので、Nを1モルトして、状態方程式を書いて比較してみましょう。PVイコールRTになります。そうすると、こちらのPV、Pイコール、2アルファ分のMと対応できますね。ということで、最終的に、2アルファV分のMかけるNAイコールV分のRT、このNAというのは1モルになっているので、NがNAに追いかかっていますが、この関係式が出てきて、アルファイコール2RT分のM、NA、ラージRは気体定数なので、NAで割ると、ボルツマン定数kBになるので、アルファイコール2kBt分のRT、RTは気体定数なので、NAで割ると、ボルツマン定数kBになるので、アルファイコール2kBt分のMと決まります。これで、アルファイコール1RT分のRTが決まりました。これで、アルファイコール2RT分のRTが決まりました。今度、全粒子数の関係式にアルファイコール2RTを入れて、aで解くと、aイコールV分のNかける2mkT分のMの2分の3乗乗、aイコールV分のNかける2mkT分のMの2分の3乗乗、ということになって、未知定数が全部決まりました。ということで、最後のマクスウェルの速度分布関数の形というのは、速度分布関数の形というのは、頭の定数が、ややこしい形なんです。V分のNかける2πkT分のMの2分の3乗乗、見てから上方等しか分ラインに戻りませんが、V分のNかける2πkT分のMの2分の3乗乗、 dignity main2πkT分のMの2分の1mv乗乗×e kt分のMいわと3mov乗になります。V分のNかける2πkT分のMの3mov乗×e kt分のMいわと3mov乗×e kt分のMいわと3mov乗× 누�これが最後の結果で、これが最後の結果で、ですが、ですが、この辺の定数のことを一切忘れちゃってもいいです。というのも、この定数というのは、Vx,Vy,Vzに対して全積分を取ってあげると出てくるので、これを完全に忘れても、後で簡単に導出できます。エクスポネンシャルの中身はちょっとややこしそうに見えますが、これ1分の1mV次乗が粒子1粒子のエネルギーになっているということに気が付けば、エクスポネンシャル-kt分のE乗になっているだけということはわかりません。つまり、ここで話をしたエクスポネンシャル-kt分のE乗という式が、空間の等分のE乗を、平方性、独立性から出てきたということが確認できます。ということですね。これで、今日目的としていたマクセロン速度分布関数の話は、完璧に終わりになりますが、また聞いてみますけど、質問あります?とにかく、ニュートンの運動方程式を解く必要も全くなくて、エネルギーが1分の1mV次乗であるという音と、空間が等方的で、XYZ方向が独立であるという仮定、前提だけから、指数関数の統計分布関数が同時されるというところが、今日の疑問ですね。次回以降は、次回はもうちょっとこれを確率論的に、同じ結果が出てくる。しかも、次回以降は、次回以降は、外部ポテンシャルが0で1乗という仮定なくて、2の外部ポテンシャル下の自由理想期待で、同じ結果が出てくるということを、次回勉強していきます。この後、教科書の方は、もうちょっとおまけがあるんですね。今説明しましたが、ボルトマン分布の形は、ちょっとややこしく見えますが、2分の1mV以上がエネルギーということが分かれば、エクスポネーション-kt分のe乗で全部書けます。このことをボルトマン因子と呼びます。さらに、kt分の1という係数は頻繁に出てきますので、これを今後βと書きますので、βと出てきたら、無条件でkt分の1だと直してください。この後、速度分布関数の形について、いろいろな話が出てきますが、これもちょっとさらってと流していきましょうか。あと10分ぐらいですね。まず、速度分布関数Fというのは、エクスポネーション-kt分の1mV以上に比例しているということを説明しました。ここで書いているVというのは、速度の次乗ですから、Vx次乗プラスVy次乗プラスVz次乗です。とすると、速度ベクトルがVからVプラスDVの間にある分子数というのは、等型分布関数Fに速度の体積素辺DVをかけて、FvDVイコールFVDV。低数Aかけるエクスポネーション-kt分の1mV以上かけるDV。DVというのは体積素辺ですから、DVxかけるDVyかけるDVzになります。この式を見ればすぐに分かりますが、この確率分布が最大になるのは、VxとVyとVzが0のところが、このボルツマイン子の最大項になります。ここで勘違いしてはいけないのは、実際の気体というのは、速度が0、つまり静止している分子が一番多いのかというと、これは単に数式上のトリックです。なぜかというと、ここでは確かにVの絶対値が0の場合に、速度分布関数は最大値をとりますが、その時、この体積素辺の大きさというのは、Vx、Vy、Vzが0の、原点付近の極小体積を示していますので、そもそも体積は0になります。Vx、Vy、Vzを持っている分子の数というのは、確率としては最大をとりますが、その部位を持っている体積としての確率は0になりますので、実際の確率、Fv、Dvとしては0になります。実際の確率、Fv、Dvとしては0になりますので、実際の確率、Fv、Dvとしては0になりますので、実際の確率、Fv、Dvとしては0になりますので、実際の確率、Fv、Dvとしては0になりますので、速度が絶対値Vを持っている粒子の割合はいくつか、ということを考えようとすると、このVx、Vy、Vzの体積素辺を、速度の絶対値1変数に直してあげる必要があります。これは数学でもよく出てきた、極座標の積分に直すやり方のままです。極座標の積分に直すやり方のままです。極座標の積分に直すやり方のままです。ということで、XYZの体積素辺を、θ、φについて、独立な関数の場合に、同系部分だけで積分に直してあげると、DVx、DVy、DVzイコール4πV次乗かけるDVになります。DVx、DVy、DVzイコール4πV次乗かけるDVになります。DVx、DVy、DVzイコール4πV次乗かけるDVになります。なので、速度Vの絶対値を持っている分子の数は、なので、速度Vの絶対値を持っている分子の数は、fv、つまりexp-kt分の1nの2V次乗、x4πV次乗かけるDVに比例しますので、x4πV次乗かけるDVに比例しますので、実際に速度Vを持っている粒子値がどれくらいの割合でいるかは、実際に速度Vを持っている粒子値がどれくらいの割合でいるかは、4πV次乗かけるFVで決まってきます。これをグラフに書いてあげると、これをグラフに書いてあげると、こういう関数になって、どの速度を持っている分子が一番数が多いかというのは、V事情、エクスポネンシャル-2KT分のMV事情をVで微分とってあげて、0になるところにとってあげればいいので、速度がMV-2KTの2分の1の速度を持つ分子が一番多いという結論になります。ということで、マクセルの速度分布関数、元の状態からだと、誤解がありません。誤解が出ますが、実際の速度分布というのは、速度0の分子の割合が0で、M分の2KT分の2分の1乗、これ、熱速度と言いますが、熱速度でFVが最大になるというのが、正確な速度分布の理解になります。この後、また色々な積分式、積分をとって、平均値をとるという作業が出ていますが、これ飛ばしていいかな、もう。これは講義で、この後あまり出てくることはありませんが、大学院の入試問題とかでは、典型的に出てくるようなパターンですが、基本的には、この後はもう数学の問題になるので、必要に応じて各自で積分計算ができるようにしてください。はい、どうぞ。はい、どうぞ。さっきも、ガウス関数の定積分をとるときに、このテクニックを使いましたが、一つだけ、べき乗と指数関数が入っているような積分の場合は、微分可能なパラメータαを入れた定積分を、一回計算しておくと、そのAに関する微分によって、違うべき乗の定積分をすぐに計算できるようになります。はい、どうぞ。はい、どうぞ。はい、どうぞ。はい、どうぞ。これについては、A分のπの2分の1乗という答えを先に分かっているものとして、そうすると、X2分の3乗かけるエクスポネンシャルのマイナスAX乗の積分は、こいつをAで微分してやってマイナスをとってあげればいい。さらに、X2分の5乗の積分については、さらにこれをAで微分とってあげればいいということで、どんどんどんどん計算できます。というようなことを、これから統計力学では何回も出てきます。さらに、この全化式を一般化したのがγ関数。さらに、γ関数では、このべき乗の部分を、整数、半整数だけではなくて、実数まで拡張できます。が、同じ結果が出るということは、簡単に確認できます。ということで、これを使うと、VのP乗の平均というのも、すぐに計算できるようになります。ということで、等分配の法則の話を、本来しなきゃいけなかったけど、もう時間なので、これでやめておきましょう。次回は、等分配の法則の説明をした上で、配置数を最大化する分布関数として、マクセル・ボルツマン分布を導出していきます。ここで、今日の課題について、もう一回戻ります。うーんと、こいつね、統計分布関数、最後は、exponential-kt分のe乗の形になりましたが、なんで、実数関数の形になっているのかを、簡単に説明して、T2スカラーを通して、提出してくださいというのが、今日の課題です。また、質問が、他に自由な質問を受け付けますので、ぜひ、気楽に質問してくださいな。ということで、今日の講義はここまでですが、最後に質問ありますか?はい。なければ、これで終わりにしましょう。皆さん、お疲れさまでした。