[0.00 - 8.12] それでは時間なので 統計力学Cの2回目の講義をやりましょう
[8.12 - 13.28] またZoomで念のため録画を撮らせてもらいます
[18.08 - 26.68] さて 今日は第2回ということで 前回は熱力学の復習をやりましたが
[26.68 - 31.14] 今日は具体的に統計力学の内容に入っていきます
[31.14 - 39.24] 一番簡単な統計分布関数として ポテンシャルが一様である中で
[39.24 - 46.20] 自由に運動している理想機体が どのような速度分布を持つかという
[46.20 - 51.46] マクスウェル分布をどのようにして導き出すかという 説明をしていきます
[51.46 - 56.66] 講義に入る前に 課題について
[56.68 - 65.98] 課題はルジャンドル変換と自由エネルギーの関係について述べようということです
[65.98 - 71.78] 数行程度の説明でいいと書いたのが聞いたと思うんですが
[71.78 - 80.60] 3分の1ぐらいの学生さんが 自由エネルギーをルジャンドル変換で変換できるという程度の答えだけで
[80.60 - 85.12] それってこの問題文を言い換えただけですよね
[85.12 - 86.66] ということで 課題はルジャンドル変換と自由エネルギーの関係について述べようということです
[86.68 - 92.66] 次回からどういうふうに問題を出すかは考えますが
[92.66 - 100.24] もう少しどのような変換をするかぐらいのことは 答えてほしかったところではあります
[100.24 - 107.80] ルジャンドル変換の話をする前に これも復習で思い出しましょう
[108.80 - 116.64] 熱力薬では経験的にPVTと物質量NIの
[116.68 - 124.76] 4種類の量を変数として状態を記述できるという話をしました
[124.76 - 131.12] この時 この4種類の変数には
[131.12 - 136.56] 物質によって決まっている状態方程式の縛りがあるので
[136.56 - 143.64] 実際に自由に変えられる独立変数は このうちの3種類だけですよという話もしました
[143.64 - 146.60] ということで
[146.68 - 155.06] この独立変数と熱力薬関数 ここでは自由エネルギーのことですね
[155.06 - 163.42] がどのような関係にあるかということを 数学的に整理してくれるのがルジャンドル変換です
[163.42 - 168.68] まずこれは完全に数学の話ですが
[168.68 - 174.88] xとyの2つの独立変数を持つ関数fxyを考えます
[176.68 - 185.06] fxyの全微分形式はdfイコールdx分のdf dxプラスdy分のdfdyですね
[185.06 - 193.42] このように書いたとき 全微分形式がこのように書けるときに
[193.42 - 198.00] このxとyのことを独立変数と呼びます
[198.00 - 201.94] というのが独立変数の数学的な定義です
[203.56 - 205.94] ここで変微分dx分のdfと
[206.68 - 209.06] dx分のdfを見にくいので
[209.06 - 210.96] xとyに置き換えると
[210.96 - 213.80] この全微分形式は非常に簡単な形で
[213.80 - 220.12] dfイコールxdxプラスdyになりますね
[220.12 - 229.16] ここで新しい関数gをfxy-xxで定義します
[229.16 - 233.80] そうするとこの新しい関数gの全微分は
[236.68 - 241.76] xdx-xdxになります
[241.76 - 249.54] このdfをこちらの式xdxプラスydyで置き換えると
[249.54 - 254.38] dgイコール-xdxプラスydyになります
[254.38 - 260.04] 数学的に置き換えて遊んでいるように見えますが
[260.04 - 262.10] この数学的な意味というのは
[264.50 - 266.10] gをfxy
[266.68 - 271.76] fx y マイナス small x large x と置き換えることによって
[271.76 - 282.64] large x と y を独立変数とする関数 g を作ることができますということです
[282.64 - 289.04] つまりどのような関数でも独立変数を置き換えることができますというのが
[289.04 - 291.94] ルージャンドル変換の重要なポイントですね
[296.68 - 303.86] 今ここまで話をしましたね
[303.86 - 308.10] 前回ですね
[308.10 - 317.80] 資料変数と試協変数には互いに協約な関係がある変数があって
[317.94 - 326.66] 例えばエネルギーなどは協約変数同士の積で与えられることが多いという話を
[326.66 - 327.14] しました
[327.14 - 330.46] ここでその協約が出てきます
[330.46 - 335.84] ここで関数 small f を通して
[335.84 - 339.76] 新しい独立変数 large x と
[339.76 - 343.62] もともとの独立変数 small x は
[343.62 - 348.12] large x イコール dx 分の df の関係にあって
[348.12 - 354.52] このような関係にある変数を協約変数と呼びます
[356.66 - 357.94] ということで
[357.94 - 362.34] あとネトリティ学的というか数学的な問題
[362.34 - 365.06] 問題というか重要性としては
[365.06 - 369.42] このようにして変換したルージャンドル変換によって変換した
[369.42 - 374.10] fxy と g large x y に関して
[374.10 - 378.94] 独立変数 y の数学的な寄与は等価である
[378.94 - 385.66] 要は同じように変数 y から見て同じように扱うことができるということですね
[385.66 - 386.64] ということで
[386.66 - 392.74] ある問題が与えられたときに fxy で解いた方がいいのか
[392.74 - 398.34] 簡単なのか g large x y で解いた方が簡単なのかは
[398.34 - 402.32] どちらでも自由に選ぶことができるということになります
[402.32 - 405.00] ここまでは数学の問題
[405.00 - 414.50] 次に熱力約関数自由エネルギーとの対応について見ていきましょう
[416.66 - 419.58] すでに説明したようにルージャンドル変換というのは
[419.58 - 423.80] small x small y を独立変数とする関数 f を
[424.72 - 428.08] fxy マイナス x large x つまり
[428.08 - 435.38] fxy マイナス small x dx 分の df に置き換えることによって
[435.38 - 445.02] 変数を small x から large x つまり dx 分の df に置き換える変換です
[445.02 - 445.54] これを変えると vem 変換を行うことができますので
[445.54 - 445.58] このようにすると f x y マイナス e x マイナス x large x つまり e x y の df に置き換える変換です
[445.58 - 446.26] このような変換を行うことで
[446.66 - 453.46] この例えば熱力学の第一法則から内部エネルギーUは
[453.46 - 460.30] DUイコールTDS-PDVの関係が第一法則から出てきますから
[460.30 - 471.38] 内部エネルギーUというのはエントロピーSと体積Vを独立変数とする関数であるということがわかります
[471.38 - 479.30] ここで独立変数Sをルジャンドル変換によってTに置き換えることを考えてみましょう
[479.30 - 487.28] つまり断熱条件から低温条件に置き換えるということになりますね
[487.28 - 491.26] そうするとルジャンドル変換のこの式 もう繰り返しませんが
[491.26 - 500.22] に対応させてU-S×DS分のDU
[500.22 - 500.92] イコール
[500.92 - 501.34] え?
[501.38 - 503.90] これは熱力学的な関係ですね
[503.90 - 512.20] TになりますのでU-STという関数を新しくラージFという関数に置き換えると
[512.20 - 517.94] DFイコール-SDT-PDVという関係が出てきます
[517.94 - 525.42] これはまさに先ほどまでルジャンドル変換をしていたのと全く同じ形になりますね
[525.86 - 530.92] これによって関数ラージFの独立変数は
[530.92 - 535.06] TとVに変換されたということになります
[535.06 - 538.72] このことをもう一度言い換えれば
[538.72 - 545.70] 内部エネルギー関数Uの独立変数はSとVでしたが
[545.70 - 553.00] ヘルムホルツエネルギーFにFイコールU-STに置き換えることによって
[553.00 - 558.72] 独立変数をTとVに変換したということになります
[558.72 - 560.48] では次に
[560.92 - 564.58] 最後の行はおまけみたいなものですが
[564.58 - 573.16] この全微分の式から-FイコールDT分のDFであるということは分かりますね
[573.16 - 579.50] さらにUの式からDV分のDUがやはり-Pなので
[579.50 - 583.60] DV分のDUイコールDV分のDFであるというのは
[583.60 - 588.50] この元々の全微分の式からすぐに出てきます
[588.50 - 590.50] こんなことを
[590.92 - 601.12] いろんな熱力約関数で変微分間の関係を並べたのが
[601.12 - 605.18] 熱力約で出てくる変微分方程式ですが
[605.18 - 607.88] 全部いちいち覚えているわけにはいかないので
[607.88 - 613.92] このような形で整理していくことになりますね
[616.32 - 620.68] 今UとFのルジャンドル変換の話をしましたが
[620.92 - 623.84] 同じようにUとHを変換できますし
[623.84 - 627.64] HとGを変換するということもできます
[627.64 - 631.84] いずれにしてもルジャンドル変換という概念を知っていれば
[631.84 - 636.62] これらの熱力約変数というのは基本的には同じもので
[636.62 - 640.50] 独立変数を変えた関数に対応しているということが
[640.50 - 642.42] 分かってもらえると思います
[642.42 - 650.72] そうするとどの独立変数をとって問題を
[650.72 - 650.90] どの独立変数をとって問題を解決するかというと
[650.92 - 652.82] といても構いませんが
[652.82 - 656.26] 与えられた問題に対して
[656.26 - 662.52] 解きやすい独立変数に対して解きやすい熱力関数が決まってくるので
[662.52 - 669.86] その熱力約関数を使った方が問題を解きやすいですよということになります
[669.86 - 674.26] というところまでがルジャンドル変換の話ですが
[674.26 - 676.78] ここまでのところで質問はありますか
[679.00 - 680.72] なければ次に
[680.92 - 681.42] いきましょう
[681.42 - 687.80] レポート課題の問題の方は
[687.80 - 694.02] 常に何か質問があったら書いてくださいということを出していますし
[694.02 - 696.84] これからもその形で課題を出します
[696.84 - 700.30] 例年だとあまり質問出てこないんですが
[700.30 - 706.20] 今年度は結構質問を書いてくれてました
[706.20 - 708.72] 最初の質問というのは
[708.72 - 710.72] 前回の質問は
[710.72 - 713.24] 前回過逆過程は現実的には
[713.24 - 721.52] 現実的な時間の中で過逆過程を完結することはできないというような話もしましたが
[721.52 - 722.36] それに対して
[722.36 - 730.82] じゃあ現実の世界で限りなく過逆過程に近い現象は起こり得るのかという質問でした
[730.82 - 733.04] これに対しては
[733.04 - 736.50] 今あまり身近ではないかもしれませんが
[736.50 - 738.76] 一番端的な例が不利行ですね
[738.76 - 740.40] 昔は
[740.72 - 744.00] 不利行を使って時計を動かしてました
[744.00 - 745.84] 理由は何かというと
[745.84 - 748.22] 不利行が単振動ですね
[748.22 - 750.94] 単振動で揺れる周期というのは
[750.94 - 756.50] 不利行の重さには関係なく一定であるということと
[756.50 - 760.02] 不利行がエネルギー差異率が非常に小さいので
[760.02 - 762.68] 非常に長い時間不利行が動いている
[762.68 - 767.66] ということで不利行を時計に使うことを使っていたわけですが
[767.66 - 769.54] このように不利行というのは
[769.54 - 770.28] 時計を動かしているときに
[770.28 - 770.36] 時計を動かしているときに
[770.36 - 770.48] 時計を動かしているときに
[770.48 - 770.70] 時計を動かしているときに
[770.72 - 776.02] まず摩擦などのエネルギー差異率がない
[776.02 - 779.44] さらに摩擦だから同じか
[779.44 - 782.32] 空気がなければ空気抵抗もないので
[782.32 - 783.82] 基本的に不利行というのは
[783.82 - 787.78] 永遠に単振動を続けるので
[787.78 - 789.42] 過逆過程になります
[789.42 - 797.02] もう一つ過逆過程に近い機関として
[797.02 - 800.16] スターリングエンジンというのがあります
[800.16 - 803.88] これ東高大の博物館にも入っているので
[803.88 - 807.04] もしかしたら見たことある人もいるかもしれませんが
[807.04 - 810.58] カルノーサイクルの原理を使って
[810.58 - 813.14] 最もカルノーサイクルに近い効率が出ると
[813.14 - 815.24] 言われている機関です
[815.24 - 818.98] ということでカルノーサイクルも
[818.98 - 821.20] 外部に仕事を取り出さなければ
[821.20 - 823.30] 過逆過程として働きますので
[823.30 - 826.96] 過逆過程に近い減少機関としては
[826.96 - 830.14] この2つが大体上がるかなとは思います
[830.16 - 834.70] がこの後に重要な注意があります
[834.70 - 838.28] 過逆過程である以上は
[838.28 - 840.58] 外部にエネルギーを取り出して
[840.58 - 842.86] それで仕事をすることはできません
[842.86 - 845.88] その時点で不過逆過程になります
[845.88 - 852.92] つまり完全に厳密に過逆過程の機関プロセスだと
[852.92 - 855.54] 私たちがそれが動いているということを
[855.54 - 857.88] 観察することもアウトですし
[857.88 - 860.14] それから仕事を取り出すエネルギーを取り出すこともアウトです
[860.16 - 861.92] エネルギーを取り出すということは
[861.92 - 863.54] もってのほかになります
[863.54 - 871.30] 関連して永久機関という言葉も知っていると思いますが
[871.30 - 874.80] 永久機関には第一種永久機関と第二種永久機関に
[874.80 - 879.64] 特別して語られることが多いです
[879.64 - 881.28] 第一種永久機関というのは
[881.28 - 883.00] 外部からエネルギーを与えないでも
[883.00 - 884.24] エネルギーを取り出せる
[884.24 - 887.28] あるいは外部から与えたエネルギーよりも
[887.28 - 889.74] 多くのエネルギーを取り出せる機関ですが
[890.16 - 893.78] そもそもこれは熱引き薬第一法則を破っていますので
[893.78 - 899.12] 論外で存在しないということになっています
[899.12 - 902.34] それに対して第二種永久機関は
[902.34 - 904.58] 外部からエネルギーを与えることもないけど
[904.58 - 907.12] 外部にエネルギーを取り出すこともなく
[907.12 - 909.04] 永久に動く機関ですね
[909.04 - 914.60] これ自体は第一法則は破らないので問題はないですが
[914.60 - 917.24] ちょっとでもエントロピーが増える
[917.24 - 920.14] あるいはエネルギー散逸するかどうか
[920.16 - 921.36] という仮定が入っていれば
[921.36 - 922.36] 第二法則によって
[922.36 - 925.46] エントロピーが増える仮定があれば
[925.46 - 928.92] 第二法則によって実現はできません
[928.92 - 934.24] というのがさっきのこちらの話に対応しますね
[934.24 - 936.24] フリコート系に使っても
[936.24 - 938.78] スターリングエンジンで
[938.78 - 942.58] スターリングエンジン数年前ぐらいかな
[942.58 - 948.04] までは自衛隊の潜水艦に使ってましたが
[948.04 - 950.14] 潜水艦を動かした時点でエネルギー散逸を
[950.16 - 951.28] してますので
[951.28 - 958.60] それが第二種駅機関になることはないっていうことですね
[958.60 - 964.02] 他の質問でテストに関係しての質問ですが
[964.02 - 965.76] ヘルムホルツエネルギー
[965.76 - 968.88] 私の講義ではラージFの記号を使っていますが
[968.88 - 975.60] 他の教科書はラージAを使ってる教科書があります
[975.60 - 980.00] また微分記号DQと変分記号デルタQは
[980.00 - 983.16] 特別としてますよということを
[983.16 - 985.82] 前回の講義で説明しましたが
[985.82 - 988.40] これは必ずしも全ての教科書とか
[988.40 - 991.50] 全ての教員研究者の中で
[991.50 - 994.94] このコンセンサスが取れてるわけではありません
[994.94 - 998.38] のでテストではどのように扱ったらいいか
[998.38 - 1000.46] という質問ですが
[1000.46 - 1005.34] これは熱力薬に限ったことではないですね
[1005.34 - 1008.78] 記号を使う場合には必ず定義をして使ってください
[1008.78 - 1009.84] というのは回答にありますので
[1009.84 - 1012.60] このようなことになります
[1012.60 - 1015.64] またこの講義の評価は
[1015.64 - 1020.76] 各講義会の演習と期末試験の評価で行えます
[1020.76 - 1021.84] という話をしましたが
[1021.84 - 1025.62] その割合を教えてほしいという質問ですが
[1025.62 - 1028.54] 他の講義も多くはそうだと思いますが
[1028.54 - 1031.84] 評価の詳細は未公表です
[1031.84 - 1037.10] プラス期末試験で100点を取ったとしても
[1037.10 - 1039.00] 演習を出さなかった場合に
[1039.00 - 1039.82] 単位が取れるかどうかという質問ですが
[1039.84 - 1041.84] 評価の詳細は別の問題です
[1041.84 - 1046.34] その意味で演習と期末試験で評価を行います
[1046.34 - 1050.04] という意味です
[1050.04 - 1053.12] 最後の2つの質問というのは
[1053.12 - 1054.96] 時間に関することで
[1054.96 - 1057.72] ちょっと面白い話なので
[1057.72 - 1059.06] 寄り道になりますが
[1059.06 - 1062.50] ちょっとお話をしてみましょう
[1062.50 - 1065.90] 1人目は熱力薬の第2法則によって
[1065.90 - 1069.82] 過去にはいけないということは分かったと
[1069.84 - 1072.60] その他に熱力薬の第2法則から分かる
[1072.60 - 1074.40] 面白い事象はありますかということですが
[1074.40 - 1074.84] すいません
[1074.84 - 1078.86] すぐに思いつくのがちょっと出てこないですね
[1078.86 - 1083.26] ただ熱力薬第2法則というのは
[1083.26 - 1085.26] 絶対に成立しているかどうかというのは
[1085.26 - 1088.10] もう非常に長い時間
[1088.10 - 1094.44] 現代までの物理学者の関心と議論の的の一つであります
[1094.44 - 1099.72] なんで熱力薬第2法則が成立しなければいけないか
[1099.72 - 1099.82] というのが一つの問題です
[1099.84 - 1103.84] ということはいろんな面から検討されていて
[1103.84 - 1106.74] その一つの回答として
[1106.74 - 1109.78] 前回の講義の最初に話をしたように
[1109.78 - 1113.78] 多体系の量子力薬から
[1113.78 - 1117.74] 熱力薬第2法則が自然に出てくるんだ
[1117.74 - 1119.64] というような話があるということですね
[1119.64 - 1121.44] ごめんなさい
[1121.44 - 1123.48] これ以上のことは話はできませんが
[1123.48 - 1126.02] 2つ目の話
[1126.02 - 1128.38] 過去にはいけないけど
[1128.38 - 1129.82] 未来にいけることはあるかと
[1129.84 - 1130.84] いう話で
[1130.84 - 1134.96] これについても直接の回答にはならないけど
[1134.96 - 1137.96] 時間というのは何かということを
[1137.96 - 1141.46] ちょっと思い起こしてみましょうか
[1141.46 - 1144.26] 前回の講義で
[1144.26 - 1147.48] まず温度とは何か
[1147.48 - 1150.72] 内部エネルギーとは何か
[1150.72 - 1154.98] 熱力薬や物理に出てくる
[1154.98 - 1157.22] 物理量の概念というのは
[1157.22 - 1159.32] 実は明確な
[1159.32 - 1159.82] 反応があるということですが
[1159.84 - 1165.34] 明確になっているとは限らないですね
[1165.34 - 1171.22] 温度と熱ともう一つエントロピーについて
[1171.22 - 1172.88] どういう必要性があって
[1172.88 - 1174.42] どういうふうに定義してきて
[1174.42 - 1177.44] それがなぜ今の定義として使われて
[1177.44 - 1179.36] 便利に使えるようになってるか
[1179.36 - 1181.74] という話を前回しましたが
[1181.74 - 1186.56] 時間も同じような経緯があります
[1186.56 - 1189.00] もともと古代の人が
[1189.00 - 1189.84] なんで時間と熱力薬が同じような経緯があるのか
[1189.84 - 1193.42] という概念が必要になったか
[1193.42 - 1196.42] ということを考えてみれば
[1196.42 - 1197.64] もともとは
[1197.64 - 1202.80] これが全てとは限らないとは思いますが
[1202.80 - 1206.24] 特に重要なのが濃厚ですね
[1206.24 - 1207.94] 濃厚するためには
[1207.94 - 1211.42] 1年のうちの一定の期間の間に
[1211.42 - 1212.48] 種をまいて
[1212.48 - 1214.72] 一定の期間の間に
[1214.72 - 1216.96] 収穫しないといけませんので
[1216.96 - 1219.70] その時期というのが今なのか
[1219.70 - 1221.00] 1ヶ月後なのか
[1221.00 - 1223.64] ということを把握する必要があります
[1223.64 - 1224.92] ということで
[1224.92 - 1226.88] 古代の時間っていうのは
[1226.88 - 1231.58] 今自分がいる時間っていうのが
[1231.58 - 1233.26] どういうタイミングなのか
[1233.26 - 1235.04] ということを把握しなければいけない
[1235.04 - 1235.56] ということで
[1235.56 - 1238.04] 暦が作られてきます
[1238.04 - 1240.46] 暦を最初に作る時には
[1240.46 - 1244.44] 自然現象を使うわけですね
[1244.44 - 1246.98] 例えば太陽がどの位置にあるか
[1246.98 - 1249.44] 太陽が365日
[1249.70 - 1252.24] ぐらいで大体元の位置に戻ってくる
[1252.24 - 1256.68] ということを観察して積み上げていくと
[1256.68 - 1259.30] 1年という概念が生まれてきますし
[1259.30 - 1261.58] 月の位置
[1261.58 - 1263.50] 月の形を見ていけば
[1263.50 - 1267.08] 12ヶ月と
[1267.08 - 1270.64] 1月を30日程度に区切るということが
[1270.64 - 1272.60] 出てきますので
[1272.60 - 1275.82] この辺でこのような流れから
[1275.82 - 1276.98] 単位歴・対応歴というのが成立してくるわけですので
[1276.98 - 1277.60] 単位歴・対応歴というのが成立してくるわけですので
[1277.60 - 1279.68] 単位歴・対応歴というのが成立してくるわけですので
[1279.70 - 1282.48] ただ一方で
[1282.48 - 1286.20] 1週間とか1日の中の時間の区切りというのは
[1286.20 - 1287.90] もう点でバラバラですね
[1287.90 - 1292.90] 特に中華圏のアジアでは
[1292.90 - 1294.50] 1年を超えて
[1294.50 - 1297.72] 12年とか60年という単位の
[1297.72 - 1299.70] 読みというのもありますし
[1300.34 - 1304.02] 日本でも
[1304.02 - 1309.46] 1日を区切る時間というのは
[1309.70 - 1314.82] 1つの時というのは常に一定だったわけではありません
[1314.82 - 1317.08] ということで
[1317.08 - 1319.72] 昔の時間というのは地域や季節によって
[1319.72 - 1322.74] 時間は異なるものだったんですね
[1322.74 - 1325.30] プラス
[1325.30 - 1328.58] その時というのを把握して
[1328.58 - 1331.88] 民に教えてあげることによって
[1331.88 - 1334.42] 支配者・領主とかは
[1334.42 - 1336.38] 時間を支配するということができたわけです
[1336.38 - 1339.52] 時間を支配するということができたわけです
[1339.52 - 1340.10] この
[1340.10 - 1343.20] 人によって
[1343.20 - 1345.92] 季節によって変わるような時間という概念が
[1345.92 - 1347.72] 完璧に変わったのが
[1347.72 - 1349.54] ニュートンですね
[1349.54 - 1351.30] ニュートンは
[1351.30 - 1352.68] 運動方程式
[1352.68 - 1355.60] FイコールMAの中に時間が出てきますが
[1355.60 - 1358.22] ある時間を
[1358.22 - 1359.92] 決めてあげると
[1359.92 - 1362.44] それによって万物の運動というのは
[1362.44 - 1364.22] 誰にとっても
[1364.22 - 1366.14] どこの場所においても
[1366.14 - 1367.66] 同じ法則で表される
[1367.66 - 1368.94] ということで
[1368.94 - 1373.66] 絶対時間というものがあるんだということを提唱して
[1373.66 - 1376.82] 絶対時間というのは誰にでも共通
[1376.82 - 1378.92] しかも地上であろうが
[1378.92 - 1379.98] 宇宙であろうが
[1379.98 - 1385.28] 同じ絶対時間があるということを主張して
[1385.28 - 1389.34] 実際にそれがニュートンの力学になってるわけですね
[1389.34 - 1391.12] この時点で
[1391.12 - 1398.06] みんなに誰にも共通の時間という概念が出てきます
[1398.06 - 1398.94] その後
[1398.94 - 1403.10] 時間の概念を完全に変えたのが
[1403.10 - 1407.76] 1905年アインシュタインの特殊相対性理論です
[1407.76 - 1411.30] 特殊相対性理論で何を言ってるかというと
[1411.30 - 1413.68] 物理的な時間というのは
[1413.68 - 1414.98] ニュートンが言ってるように
[1414.98 - 1418.90] 誰にでも同じように流れているわけではなく
[1418.90 - 1420.14] 同時というのも
[1420.14 - 1424.62] 誰にとっても同時という時間っていうのはないんだと
[1424.62 - 1426.50] どういうことかっていうと
[1426.50 - 1427.82] ある人Aとある人Bが
[1427.82 - 1428.78] 同じ時間に流れているわけではなく
[1428.78 - 1431.12] それぞれの時間の時間がお互いに動いているとき
[1431.12 - 1435.86] Aから見てBの時間っていうのは遅く進んでます
[1435.86 - 1438.90] BからAを見ると
[1438.90 - 1442.54] Bから見たAの時間っていうのも遅く進んでいる
[1442.54 - 1449.66] これが特殊相対性理論でいう相対になります
[1449.66 - 1454.22] しかもこの時間は
[1454.22 - 1457.46] 特殊相対性理論でいう時間というのは
[1457.46 - 1458.62] 空間XYであるときに
[1458.62 - 1460.62] 時間の変化によって
[1460.62 - 1462.96] ローレンツ変換によって相互に変換されます
[1462.96 - 1467.84] つまりある運動をしてる座標形から見たとき
[1467.84 - 1472.16] 違う運動をしてる座標形から見たときでは
[1472.16 - 1474.72] 時間と空間っていうのは
[1474.72 - 1477.92] それぞれが混じった形で変換されるっていうのが
[1477.92 - 1479.56] ローレンツ変換
[1479.56 - 1482.48] なので特殊相対性理論によって
[1482.48 - 1483.62] 時間っていうのは
[1483.62 - 1485.94] 人によってというか
[1485.94 - 1488.46] 運動している座標形完成形によって変わるのが
[1488.46 - 1490.46] ローレンツ変換の形であるということと
[1490.46 - 1494.46] 時間と空間は相互に変換されるということが
[1494.46 - 1496.40] 分かりました
[1496.40 - 1498.16] 分かりましたというか提唱されて
[1498.16 - 1502.32] これは現在の標準ですね
[1502.32 - 1505.58] さらに相対論には固有時間っていう
[1505.58 - 1508.42] 座標形に依存しない時間がありますが
[1508.42 - 1512.34] 物理標定式を支配しているのは
[1512.34 - 1515.46] この座標形に依存している時間の方です
[1515.46 - 1516.46] そのために座標形の形を支配しているのは
[1516.46 - 1517.46] この座標形に依存している時間の方です
[1517.46 - 1518.46] そのために座標形の形を支配しているのは
[1518.46 - 1523.46] そのために今私たちはGPSを使って
[1523.46 - 1525.46] 位置情報を把握したり
[1525.46 - 1529.46] あるいは時計をぴったり合わせたり
[1529.46 - 1531.46] ということはできますが
[1531.46 - 1535.46] それをやるためには
[1535.46 - 1539.46] 地球の周りを飛んでる人工衛星から信号を拾って
[1539.46 - 1542.46] 位置を決めるわけですが
[1542.46 - 1546.46] その際に人工衛星が高速で飛び回っているので
[1546.46 - 1547.46] 相対論の時間を支配しているのは
[1547.46 - 1552.46] 正確な位置に今できません
[1552.46 - 1554.46] その変換をすること
[1554.46 - 1556.46] その補正をすることによって
[1556.46 - 1559.46] GPSはきちんと機能しているということで
[1559.46 - 1562.46] 特殊相対性理論について
[1562.46 - 1567.46] このオーダーの減少について
[1567.46 - 1570.46] 特殊相対性理論が間違っているというような
[1570.46 - 1574.46] 実験的な事実はありませんということで
[1574.46 - 1576.46] 私たちの時間というのは
[1576.46 - 1578.46] こういうものなんだ
[1578.46 - 1582.46] 時間と空間というのもお互いに絡み合っているものなんだ
[1582.46 - 1591.46] というのが20世紀からの物理学の常識になります
[1591.46 - 1595.46] また物理的時間については
[1595.46 - 1598.46] 物理方程式
[1598.46 - 1603.46] ニュートンの運動方程式やシュレディンガー方程式
[1603.46 - 1605.46] すべての方程式が時間に対して可逆になることがありますので
[1606.46 - 1608.46] これが逆的です
[1608.46 - 1610.46] つまりTを-Tに置き換えても
[1610.46 - 1612.46] 方程式の形は変わりません
[1612.46 - 1617.46] 未来に進んでいる運動というのは
[1617.46 - 1625.46] ある時点からTを-T側に振って
[1625.46 - 1627.46] 運動方程式を解いていけば
[1627.46 - 1629.46] 過去にも戻れるということで
[1629.46 - 1633.46] 可逆的と言いますが
[1633.46 - 1636.46] ここで熱力学的には
[1636.46 - 1643.46] 私たちは時間というのは未来にしか変わっていないということを認識していると
[1643.46 - 1646.46] それを支配しているのは何かということで
[1646.46 - 1651.46] エントロピーは必ず増大していかなければいけないということで
[1651.46 - 1658.46] エントロピーが時間の方向を決めているんだという考え方がされます
[1658.46 - 1664.46] また物理方程式は可逆的とは書いていますが
[1664.46 - 1670.46] 量子力学には不確定性原理があります
[1670.46 - 1673.46] さらに電子がどこにいるかというのは
[1673.46 - 1677.46] 観測をしてみるまでは確率的にしか分からなくて
[1677.46 - 1682.46] 観測をした瞬間に電子がどこにいたかというのが分かる
[1682.46 - 1685.46] その時点で波動関数は収縮したという言い方をします
[1685.46 - 1692.46] これをもって量子力学的に未来の予測というのはできないとか
[1692.46 - 1693.46] あるいは
[1693.46 - 1698.46] 観測をするたびに違う世界に分岐していっているんだ
[1698.46 - 1701.46] という多世界解釈なんかがありますが
[1701.46 - 1705.46] これについて深入りするのは僕にはできませんし
[1705.46 - 1708.46] これらが正しいかどうかも誰も分かりません
[1708.46 - 1714.46] これらはこういう時間の考え方があるんだというくらいに
[1714.46 - 1717.46] 捉えておいてもらえればなと思います
[1717.46 - 1722.46] さらに現代の素粒子論では
[1723.46 - 1729.46] 例えば量子力学ではエネルギーが理算的になります
[1729.46 - 1733.46] 等の話が出てきたときに
[1733.46 - 1737.46] 特殊相対性理論 一杯相対性理論
[1737.46 - 1747.46] 量子力学 その後の素粒子理論 宇宙論をひっくるめた大統一理論を作る際に
[1747.46 - 1751.46] 時間と空間も理算的でないとちゃんとした無矛盾の理論ができないんじゃないかと考えています
[1751.46 - 1757.46] 時間も空間も実は連続に変わりうるのではなくて
[1757.46 - 1765.46] 理算的なのではないかという考え方もあります
[1765.46 - 1773.46] この時の空間の理算長の長さとしては
[1773.46 - 1777.46] プランク長10-35m
[1777.46 - 1779.46] 時間としてはプランク時間10-44s
[1779.46 - 1781.46] 時間としてはプランク時間10-44s
[1781.46 - 1785.46] あてはまるんじゃないかという話がある
[1785.46 - 1789.46] ここでは捉えておいてください
[1789.46 - 1791.46] いずれにしても
[1791.46 - 1793.46] 私たちは 知ってる時間というのも
[1793.46 - 1795.46] 単純なものではないのと
[1795.46 - 1801.46] 空間と相互に変換されるということで
[1801.46 - 1805.46] 空間と時間というのは一体何なんだということは
[1805.46 - 1807.46] 現在になってもというよりも
[1807.46 - 1809.46] 現代になってなおのことを
[1809.46 - 1811.46] 現代になってもというよりも
[1811.46 - 1815.16] 複雑な疑問となっています
[1815.16 - 1821.28] この時間と空間の問題を考えるときに
[1821.28 - 1827.66] 私たちがまず空間の移動をどうやって認識しているかということから
[1827.66 - 1831.56] 考える必要が出てきますが
[1831.56 - 1836.02] 私たちがここにいるのかここにいるのかということを
[1836.02 - 1838.08] 把握するのに何をしているかというと
[1838.08 - 1841.66] 私たちがいる場所の周りを観測したり
[1841.66 - 1846.54] あるいはGPSなんかでここの位置座標を測定することによって
[1846.54 - 1850.96] この座標に行って次の瞬間に動いたということが把握できる
[1850.96 - 1858.48] つまり何らかの物理現象により位置を測定することによって
[1858.48 - 1863.58] 私たちは空間を移動しているということが判断できるわけですね
[1863.58 - 1867.92] それだったら時間が
[1867.92 - 1868.06] まず空間の位置を測定することによって
[1868.06 - 1871.04] さっきと今の時間が違っているということを
[1871.04 - 1873.98] どうやって認識しているかという問題ですが
[1873.98 - 1876.18] これも基本的に同じです
[1876.18 - 1880.74] 何らかの物理現象が変化していることによって
[1880.74 - 1883.80] さっきとは違うんだと認識しているわけで
[1883.80 - 1886.94] 空間の移動も時間の移動も
[1886.94 - 1890.62] 変化する物理現象がない限り認識ができません
[1890.62 - 1895.22] というのが一つ重要なポイントですね
[1896.96 - 1897.90] ただこのことを
[1898.06 - 1899.86] 逆にとって
[1899.86 - 1903.82] 認識できない
[1903.82 - 1905.74] つまり物理現象が変わっていないときには
[1905.74 - 1907.90] 時間が流れていないのかというと
[1907.90 - 1912.20] それは必ずしもそういうわけではないはずですね
[1912.20 - 1916.80] この辺ももはや哲学の話になっていくので
[1916.80 - 1918.66] この辺で止めておきましょう
[1918.66 - 1921.64] 時間の移動方向については
[1921.64 - 1925.20] こちらの方に進んでいる時間が正しいんだということを
[1925.20 - 1926.98] どうやって認識しているかというと
[1926.98 - 1928.04] これが一つのポイントです
[1928.06 - 1930.40] それがエントロピーの増大ですね
[1930.40 - 1933.96] このようなややこしいことを理解して
[1933.96 - 1936.12] 時間が前に進んでいるということを
[1936.12 - 1939.22] 私たちは認識しているわけじゃなくて
[1939.22 - 1943.72] 経験的に周りの自然現象を見ていたら
[1943.72 - 1945.42] こっちの方向にしか進まない
[1945.42 - 1947.92] つまり乱雑さが増える方向にしか
[1947.92 - 1950.12] 進まない現象があるということを
[1950.12 - 1951.94] 私たちは経験的に知っていて
[1951.94 - 1953.82] それを見ているから
[1953.82 - 1955.94] 時間がこちらの方向に進んでいるんだ
[1955.94 - 1955.96] その逆の方向に進まないということを
[1955.96 - 1956.82] そういう意味で
[1956.82 - 1956.98] 次のポイントで話を行いたいとおりですが
[1956.98 - 1957.14] 次のポイントで話を行いたいとおりですが
[1957.14 - 1957.18] 次のポイントで話を行いたいとおりですが
[1957.18 - 1969.58] その逆の現象というのは経験的に起こったことはないということで、逆方向に時間が動いたことがないということを考えているのかもしれない。
[1971.74 - 1979.14] この後、次の問題として、物理方程式は時間に対して過逆的です。
[1979.14 - 1990.76] つまり、実は私たちの世界では、ある瞬間には物理法則が巻き戻って、時間が巻き戻って過去に行ったことがあるかもしれません。
[1991.48 - 1998.74] が、その時に私たちは自分が過去に行ったことがあるということを認識できるかという問題になります。
[2001.46 - 2005.36] しかし、物理の方程式を巻き戻しているので、
[2006.02 - 2009.12] 私たちが現代の記憶を持っていた場合、
[2009.14 - 2014.30] 過去に行った部分も巻き戻って、過去に戻った時にはその記憶はそもそもないはずです。
[2015.76 - 2022.08] ということで、過去に戻ったことがあったとしても、現在の記憶が残っていないので、
[2022.78 - 2030.58] 現在を認識できなければ、過去に行ったという認識も当然できないわけですので、
[2030.98 - 2038.86] 物理方程式に沿って時間を巻き戻ったとしても、過去に行ったと認識できるということは、
[2039.14 - 2041.50] 論理的にはないはずです。
[2043.90 - 2048.20] よく漫画や映画でタイムマシンのパラドックスが出てきますが、
[2048.58 - 2051.62] この時にパラドックスが生じているのは、
[2052.76 - 2063.90] 時間を飛んだ私が、過去や未来、あるいは物理の法則とは離れて、独立な存在として、
[2064.08 - 2069.02] 現在と過去と未来を認識しているから起こる現象に、
[2069.14 - 2070.42] なります。
[2071.22 - 2072.68] そもそも、
[2072.80 - 2079.86] ということで、この過去に行く話については、ちょっとここで止めておきますか。
[2081.08 - 2084.78] そうすると逆に、時間が早送りになることがあったとして、
[2085.52 - 2091.06] 未来に行ったということを認識できるかという問題になりますが、
[2092.08 - 2096.94] 時間が早送りしているときは、自分自身のあらゆる物理現象は、
[2096.98 - 2098.84] 同じように早送りされているわけです。
[2098.84 - 2098.90] そうです。
[2098.90 - 2098.96] そうです。
[2098.96 - 2099.10] そうです。
[2099.10 - 2099.12] そうです。
[2099.14 - 2099.18] そうです。
[2099.18 - 2099.20] そうです。
[2099.20 - 2099.24] そうです。
[2099.24 - 2099.26] そうです。
[2099.26 - 2099.28] そうです。
[2099.28 - 2099.30] そうです。
[2099.30 - 2099.34] そうです。
[2100.54 - 2106.58] 早送りされている時間というのを、今までの普通の時間と区別できるかという問題があります。
[2108.08 - 2113.20] これについても、できないとも言いませんし、できるとも言いませんが、
[2114.32 - 2117.32] このような問題があるので、
[2118.20 - 2123.14] 時間を飛んだ、過去に行ったり未来に行ったりしたときに、
[2123.22 - 2127.56] それをどうやって認識するかということを考えるのも、
[2127.82 - 2129.10] 科学的に、
[2129.10 - 2134.50] タイムトラベルを考える際には非常に重要なポイントになります。
[2135.38 - 2135.82] ということで、
[2137.06 - 2144.94] 統計力学の講義とはちょっと外れますが、
[2145.76 - 2147.16] 学生さんからの質問、
[2147.74 - 2152.30] ぜひ関係ないような質問でもできる範囲で、
[2152.66 - 2158.66] また正しいかどうかわからないところも注意しながら答えていきたいと思いますので、
[2159.10 - 2163.22] 遠慮なく質問をしてくださいな。
[2164.82 - 2166.82] また、統計力学の前半ですね。
[2166.90 - 2172.08] この後お話をするように、基本的に3つの統計分布関数をこれから学びます。
[2172.64 - 2175.96] その3つの統計分布関数のことを理解して、
[2175.96 - 2185.24] どのように使ったら物理量が計算できるのかということを把握してくれれば、
[2185.34 - 2188.92] 私の前半の講義はそれだけで基本OKです。
[2189.10 - 2193.96] それをどのように導出するかというのは別の問題なので、
[2194.10 - 2202.24] そこまでは数式や導出方法をマスターしてもらおうというふうには考えていませんので、
[2202.98 - 2204.78] そんなことをやるくらいだったら、
[2205.20 - 2216.30] こういうちょっと外れたような質問や話題を取り上げたほうがいいかもしれませんので、
[2216.86 - 2218.74] そのような考え方をしてください。
[2218.74 - 2218.86] では、次の質問に行きます。
[2218.86 - 2218.92] では、次の質問に行きます。
[2218.92 - 2219.06] では、次の質問に行きます。
[2219.06 - 2249.04] では、次の質問に行きます。
[2249.04 - 2255.88] 統計分布関数について理解してもらうことが一番重要な目標だという話をしました。
[2256.68 - 2263.72] これから一番簡単な速度分布関数について勉強していきますが、
[2264.22 - 2267.68] 速度分布関数も含めて統計分布関数というのは、
[2268.20 - 2271.26] エネルギーに関して指数関数の形になっています。
[2272.50 - 2278.28] それがなぜなのかということを答えてくださいというのが課題1ですね。
[2278.28 - 2278.76] それから、
[2279.04 - 2284.16] 課題については、また質問があれば書いてくださいということで、
[2284.36 - 2289.34] 提出期限は日曜日一杯にしますので、T2スカラーから出してください。
[2292.46 - 2296.56] ということで、ここから今日の講義に入っていきましょう。
[2301.20 - 2306.12] 前回の講義では、熱力学と統計力学の違いについて説明をして、
[2306.80 - 2308.16] 熱力学では、
[2308.16 - 2308.30] 熱力学と統計力学の違いについて説明をして、
[2308.30 - 2308.68] 熱力学では、
[2308.68 - 2318.94] 教えてくれない微子的な状態、原子や電子の状態から熱力学関数へのつなぎをする、
[2319.56 - 2326.60] あるいは電子や原子の状態から物性量の統計平均、期待値を計算するのが、
[2326.68 - 2329.52] 統計力学の役割だという話をしました。
[2331.78 - 2338.06] ただ、それをやるためには非常に厄介な問題があるんですよという話もしています。
[2338.68 - 2338.78] ただ、それをやるためには非常に厄介な問題があるんですよという話もしています。
[2338.78 - 2338.82] ただ、それをやるためには非常に厄介な問題があるんですよという話もしています。
[2338.82 - 2347.50] まず一番最初に出てくるのが、物質を構成している原子や電子の数というのは非常にたくさんあります。
[2348.22 - 2358.68] 代表的な数字をとると、アボガドロ数個の10の23乗個の原子や電子の連立方程式を正確に解いていけば、
[2358.68 - 2362.66] この問題は解けるということになりますが、
[2363.30 - 2368.56] 実際にはこんなことで実行不可能だということは理解してもらえると思います。
[2368.68 - 2378.50] そこで統計力学では、個々の粒子の運動を時間ごとによって理解していくことは完璧に放棄します。
[2380.32 - 2388.00] 時間に沿って解くことを放棄した代わりに、それを統計的な平均として扱うというアプローチをとります。
[2388.54 - 2391.14] ということで次のスライドですね。
[2392.46 - 2395.20] 統計力学ではまずKの時間変化は調べません。
[2395.62 - 2397.62] つまりニュートンの運動方程式は出てこないです。
[2398.68 - 2408.16] その代わり、時間変化をとる代わりに、異なる物理的な状態を集めた統計集団、
[2408.16 - 2416.16] これをアンサンブルと言いますが、アンサンブルを作って、その確率分布を決めて平均値をとる、
[2416.16 - 2423.62] 期待値をとることによって測定される物性量と対応させるというのが統計力学の考え方です。
[2423.62 - 2426.24] ということで、この違いというのをまずさせていただきたいと思います。
[2426.24 - 2428.26] この違いというのをまずさせていただきたいと思います。
[2428.68 - 2431.08] まず最初に飲み込んでください。
[2431.08 - 2433.08] 時間変化については追いません。
[2433.08 - 2441.56] その代わり、違う物理的状態というのをたくさん考えて、その統計平均を考えていくということですね。
[2443.56 - 2450.06] じゃあ、この異なる物理状態Xというのはどうやって規定するか。
[2450.06 - 2458.00] 物理状態っていうのがそもそもどういう変数によって指定して区別できるかっていうことが、
[2458.68 - 2466.06] 対象に決まっていないと異なる状態を集めて考えるっていうこともできませんね。
[2466.06 - 2475.40] ということで、これも経験的に粒子が集まった物理系の物理的な状態っていうのは、
[2475.40 - 2485.56] それぞれの粒子の座標と運動量を独立変数とすることで、物理的状態を一時的に考えることができるので、
[2485.56 - 2486.60] とりあえず、目標の変数は必要です。
[2486.60 - 2487.48] それから、その変数を集めていくこともできるようになります。
[2487.48 - 2487.72] なので、この4つの問題を解説していきたいと思います。
[2487.72 - 2487.96] 次に、3つ目の問題については、数値の変数と運動量を変わっていくことです。
[2487.96 - 2488.06] これを解説していきたいと思います。
[2488.06 - 2495.40] 状態を一時的に指定できるというのは、これが統計力学の一番大きな、
[2495.40 - 2497.96] 一番大きなというか基本的な仮定の一つです。
[2499.52 - 2507.18] ここで、粒子の座標だけでいいんじゃないかという疑問も出てくると思いますし、
[2507.82 - 2510.90] あるいは粒子の座標と運動量、つまり速度ですね、
[2510.90 - 2518.64] 粒子の時間微分の2つだけで十分なのか、加速度はいらないのかという疑問も出てくるかと思います。
[2519.60 - 2530.22] が、この座標と運動量を使うことで一時的に物理的状態を指定できるということで困ったことがないということが、
[2530.60 - 2536.78] これらが独立変数であるという経験的根拠になっています。
[2539.24 - 2540.04] もうちょっと、
[2540.90 - 2543.46] 物理的な話で説明するなら、
[2544.26 - 2547.82] ニュートンの運動方程式もシュレディンガー方程式も、
[2547.92 - 2549.68] 時間に対しての2回微分方程式、
[2549.72 - 2553.52] ごめんなさい、シュレディンガー方程式は1回微分方程式ですね。
[2553.82 - 2556.32] ただ、位置については2回微分方程式です。
[2556.98 - 2558.64] ということは、
[2559.90 - 2562.76] Kの状態変化を決めるのに、
[2564.32 - 2569.58] 未知変数、積分定数というのが必要になってきますが、
[2570.24 - 2570.64] 例えば、
[2570.64 - 2570.74] 例えば、
[2570.82 - 2570.88] 例えば、
[2570.88 - 2573.56] 1つの粒子の運動を決めるためには、
[2574.24 - 2579.10] 最初のある時間Tイコール0における位置だけでは決まらなくて、
[2579.60 - 2583.94] Tイコール0における速度Vが必要ですね。
[2584.16 - 2586.28] これでXとVが決まると、
[2587.50 - 2591.64] 運動状態というのを一時的に決めることができます。
[2591.84 - 2592.24] ということで、
[2593.82 - 2597.56] 二次方程式によって支配されているということで、
[2598.20 - 2600.20] 1粒子あたり6個の、
[2600.88 - 2604.18] 道定数を決めなければいけないということで、
[2604.44 - 2607.10] 6個の変数が必要ということも分かると思いますし、
[2607.64 - 2610.06] 6個の変数が決まれば、
[2610.60 - 2616.22] Kの時間変化というのも決まるということも直感的には分かってもらえるかなと思います。
[2617.42 - 2618.16] いずれにしても、
[2618.44 - 2621.04] この後の統計力学の講義は全て、
[2621.96 - 2628.04] 座標と運動量、あるいは座標と速度を独立変数として、
[2628.04 - 2630.08] 物理状態を決めることができるかもしれません。
[2630.08 - 2630.16] この後の統計力学の講義は全て、
[2630.16 - 2630.76] 座標と運動量、あるいは座標と速度を独立変数として、
[2630.76 - 2633.36] を指定していきます。
[2634.68 - 2638.26] さらに、N個の粒子がある場合に、
[2638.36 - 2642.62] それぞれの粒子の座標と運動量、あるいは座標と速度、
[2644.32 - 2648.42] つまり6N個の独立変数を考えるわけですが、
[2649.18 - 2660.04] この6N個の物理量を独立変数とする6N次元の空間のことを、
[2660.04 - 2660.74] 移送空間として、
[2660.76 - 2662.10] 移送空間と呼びます。
[2663.20 - 2666.02] 移送空間というのも慣れない言葉なので、
[2667.34 - 2672.80] これだけで敬遠されると困るのですが、
[2673.00 - 2674.12] 今話をしたように、
[2675.26 - 2678.76] 座標と運動量、あるいは座標と速度を、
[2679.80 - 2684.48] もっと大きな枠組みの座標とする空間を、
[2685.20 - 2690.24] 高次元の空間を数学的に考えてくれるという程度に、
[2690.24 - 2692.82] 気楽に考えてもらえればなと思います。
[2696.52 - 2700.44] そしてこれからどのようなことをやっていくかというと、
[2701.18 - 2705.64] N個の粒子がある系を考えて、
[2706.28 - 2712.38] その系というのは、N個の粒子の座標と運動量を決めると、
[2712.46 - 2714.62] 一つの物理的状態が決まります。
[2716.54 - 2719.72] 一つの物理的状態は決まりますが、
[2719.72 - 2719.78] 一つの物理的状態が決まりますが、
[2719.78 - 2720.22] 一つの物理的状態が決まりますが、
[2720.22 - 2726.46] 座標と運動量が異なる別の物理的状態というのが、
[2726.54 - 2727.66] 無数に出てきます。
[2728.64 - 2732.70] それらの異なる物理的状態を、
[2732.98 - 2735.32] 全部頭の中で数え上げて、
[2735.42 - 2738.98] その中で確率的に最も出やすい分布が、
[2739.40 - 2744.18] 私たちが実際に測定している物理的状態として、
[2744.18 - 2747.18] 現れるというか観測されるということで、
[2748.70 - 2749.76] そのような物理的状態を、
[2749.76 - 2755.66] 物理的状態が現れやすい確率の分布関数として、
[2755.74 - 2759.20] 統計分布関数を求めるという作業をしていきます。
[2761.02 - 2763.86] このように書くと、ものすごい複雑な計算をやって、
[2763.96 - 2766.66] 統計分布関数を導出するように思いますが、
[2767.30 - 2771.94] 実は、今日最初にこれから説明するように、
[2772.64 - 2774.90] 実はこの統計分布関数というのは、
[2775.42 - 2778.88] 物理方程式のことを全く分からない、
[2778.88 - 2779.24] 物理方程式のことを全く分からない、
[2779.24 - 2782.10] 物理方程式のことは全く分からない、
[2782.32 - 2785.70] つまり、ニュートンの運動方程式を使うのか、
[2785.78 - 2787.82] シュレディンガー方程式を使うのか、
[2788.28 - 2795.18] あるいは、もっとソリューシー論の中間子の運動方程式を使うのか、
[2795.62 - 2797.70] といったことに関わらず、
[2798.18 - 2800.04] そんなことを考えなくても、
[2800.12 - 2802.58] 統計分布関数は決まります。
[2803.56 - 2808.66] これが、正順理論と呼ばれるものになりますが、
[2809.24 - 2810.78] これについて、
[2811.04 - 2813.02] なんでそんなことが起こるのかということを、
[2813.08 - 2817.36] ちょっと身近に感じられる例で説明していきましょう。
[2818.74 - 2823.06] これは2017年に、
[2823.12 - 2828.62] Webマガジンで出ていた記事を拾ってきたものですが、
[2829.08 - 2833.04] 100人を一つの部屋に集めます。
[2834.32 - 2836.64] その中で、例えば、
[2836.72 - 2839.04] 1人に100ドルずつ、
[2839.24 - 2840.56] まず持たせて、
[2840.96 - 2844.16] その後、合図をするごとに、
[2844.36 - 2846.84] 適当なパートナーを見つけて、
[2846.92 - 2849.84] 適当なパートナーに1ドルずつ渡すということを、
[2849.92 - 2851.92] 何回も何回も繰り返していきます。
[2852.64 - 2856.48] そうすると、それぞれの人が持っているお金は、
[2856.80 - 2858.88] どうなるでしょうか、という問題ですね。
[2860.56 - 2862.08] これ直感的には、
[2862.18 - 2867.04] 1人100ドル持っているので、平均値は100ドルなので、
[2867.32 - 2868.74] 回数を繰り返せば、
[2868.74 - 2872.86] みんなが持っているお金は100ドルになって、
[2872.94 - 2874.94] 平均化されそうに思いますが、
[2875.02 - 2879.14] 実際は全く違う結果になります。
[2883.18 - 2884.38] これについては、
[2884.46 - 2888.50] 私の講義のWebサイトで、
[2888.58 - 2889.42] Pythonのプログラム、
[2889.50 - 2893.46] ランダムトレードというプログラムを公開しているので、
[2893.54 - 2894.46] 興味のある人は、
[2894.54 - 2897.92] 動かしてみてもらえればなと思いますが、
[2898.00 - 2898.50] 実際にちょっと、
[2898.50 - 2899.74] やってみましょう。
[2902.54 - 2903.90] スライドショートめ。
[2909.14 - 2911.18] 例えば、このスライドにある、
[2911.26 - 2913.22] このコマンドを実行してみます。
[2913.62 - 2914.42] これは、
[2914.70 - 2917.50] 200人に50ドルずつ渡して、
[2917.58 - 2919.50] 1ドルずつ交換するというのを、
[2919.58 - 2921.22] 1万回行いますよ、
[2922.02 - 2925.10] というコマンドになりますが、
[2925.18 - 2926.06] これを実際に、
[2926.06 - 2928.98] 25条に3ケ月給付しています。
[2929.06 - 2931.76] そして40ですね。
[2931.84 - 2933.90] そして20万円を出してようと思います。
[2934.00 - 2934.86] 8 !!
[2935.14 - 2936.36] 最後になります。
[2936.46 - 2936.98] ちょっと。
[2937.08 - 2941.18] 店舗のピーの中にあるものはちょっとこれが動かしています。
[2941.26 - 2944.30] これが20万来るのですね。
[2945.30 - 2948.70] この。
[2948.82 - 2950.86] ね、
[2950.94 - 2951.92] 1,2,3,4、、、
[2952.00 - 2953.08] やっと、、、
[2953.16 - 2954.84] やってみます。
[2954.84 - 2958.16] 棒グラフで順番を並び替えたのはこれ
[2958.16 - 2962.52] この右下の方は
[2962.52 - 2966.14] 例えば100ドル持っている人というのが
[2966.14 - 2968.72] どれくらい割り合いでいるかというのを
[2968.72 - 2971.98] その都度計算したのがこの青線ですね
[2971.98 - 2974.28] 結構早く終わっちゃったな
[2974.28 - 2979.58] もう1万回の計算終わってますが
[2979.58 - 2980.80] これを見てわかるように
[2980.80 - 2985.64] みんな平等な条件で
[2985.64 - 2988.20] 一度ずつを交換しているはずですが
[2988.20 - 2991.60] それぞれの人が持っているお金というのは
[2991.60 - 2993.82] 100ドルに平均化されるどころか
[2993.82 - 2997.20] 貧富の差が確実に開いていきます
[2997.20 - 3000.96] ある人ここで10人ぐらいの人は
[3000.96 - 3002.62] 0円になっていて
[3002.62 - 3006.18] 一番トップの2,3人の人ですね
[3007.18 - 3010.44] 150ドル以上のお金を持っている
[3010.44 - 3013.16] という結果が出てきます
[3013.16 - 3021.28] この結果を横軸に持っているお金に対して
[3021.28 - 3026.34] 確率分布を取ったのがこちらの青線になりますが
[3026.34 - 3031.04] これはこれから学んで頻繁に出てくる
[3031.04 - 3033.38] ボルツマン分布と同じ形になります
[3033.38 - 3035.14] 指数関数ですね
[3039.64 - 3040.00] ということで
[3040.00 - 3040.20] あのー
[3040.20 - 3040.36] えっと
[3040.36 - 3040.40] えっと
[3040.40 - 3040.42] えっと
[3040.42 - 3042.42] 社会に
[3042.42 - 3046.42] 関する話でもありますが
[3046.42 - 3050.42] 機械平等という言葉よく使われますが
[3050.42 - 3053.74] みんなが完璧に機械平等を守って
[3053.74 - 3055.90] 何かアクションを起こし続ければ
[3055.90 - 3059.06] 貧富の差は拡大していくということですね
[3059.06 - 3060.44] あのこの辺も
[3060.44 - 3063.52] 機械平等という言葉の意味が
[3063.52 - 3066.64] 実際とは違った形で
[3066.64 - 3070.38] 理解されていることが多いという例の一つに
[3070.38 - 3072.38] なります
[3072.38 - 3074.38] えっと
[3074.38 - 3084.26] これが何で統計力学の話と対応するのかということを
[3084.26 - 3085.62] ちょっと考えてみましょう
[3085.62 - 3088.78] 今の問題というのは
[3088.78 - 3094.38] N人の人がいて全財産Mトータルを分け合います
[3094.38 - 3096.60] それぞれが出会う
[3096.60 - 3099.40] つまりそれぞれの人が衝突するたびに
[3099.40 - 3100.36] 小さな金額が出てくると
[3100.38 - 3102.38] その小さな金額を交換していくと
[3102.38 - 3106.38] 最後にはどのような財産分布になるでしょうか
[3106.38 - 3108.38] というのが今の問題でした
[3108.38 - 3110.38] 最終的な答えとしては
[3110.38 - 3118.38] エクスポネンシャル-Mの平均分のM上で分布しているんだという
[3118.38 - 3122.38] 結果が出ましたね
[3122.38 - 3124.38] 持っているお金に対して
[3124.38 - 3130.38] 指数関数で統計分布関数が決まっているということです
[3130.38 - 3136.38] これを物理の問題と対応させてみていくと
[3136.38 - 3143.38] 温度Tがここから最初出てくるとややこしいけど
[3143.38 - 3147.38] 温度っていうのはエネルギー平均と等価であるということを
[3147.38 - 3150.38] まず最初にインプットしてください
[3150.38 - 3152.38] エネルギーの平均値っていうのは
[3152.38 - 3156.38] KBTに対応します
[3156.38 - 3158.38] そうすると
[3158.38 - 3160.38] 温度Tあるいは
[3160.38 - 3166.38] エネルギー平均Eにおいて
[3166.38 - 3170.38] エネルギーEを持つ電子はどれくらいの割合いるのですか
[3170.38 - 3174.38] ということがこの文章と対応しますね
[3174.38 - 3178.38] 下の文章の方はもうちょっとちゃんと対応させてますか
[3178.38 - 3182.38] N個の粒子が全エネルギーEトータルを分け合います
[3182.38 - 3186.38] 電子が衝突するたびに小さなエネルギー
[3186.38 - 3188.38] デルタEを交換していくと
[3188.38 - 3190.38] 最後にはどのようなエネルギー分布になるでしょうか
[3190.38 - 3194.38] これで日本が完全に対応してますね
[3194.38 - 3202.38] 一人当たりの財産Mの平均値っていうのが
[3202.38 - 3205.38] エネルギーの平均値ですからKBTです
[3205.38 - 3210.38] それに対してエネルギーEを持つ電子の割合っていうのは
[3210.38 - 3213.38] 上の式と完全に対応して
[3213.38 - 3216.38] エクスポネンシャル-KBT分のE乗になります
[3216.38 - 3218.38] これが統計力学で最も重要な
[3218.38 - 3220.38] 統計分布関数
[3220.38 - 3222.38] 正順分布とかボルツマン分布って言われてるものですね
[3222.38 - 3224.38] ということで
[3224.38 - 3226.38] 統計分布関数っていうのは実は
[3226.38 - 3230.38] エネルギーさえKの全エネルギーを与えてしまうと
[3230.38 - 3234.38] もう中身を細かく考えることなく
[3234.38 - 3238.38] エクスポネンシャル-KT分のE乗で決まってしまいます
[3238.38 - 3242.38] ただ最初からもう頭ごなしで
[3242.38 - 3244.38] このエネルギーを持っていると
[3244.38 - 3246.38] このエネルギーを持っていると
[3246.38 - 3248.38] 最初からもう頭ごなしに
[3248.38 - 3252.38] もうこれで決まっちゃうんだよっていう話をしても
[3252.38 - 3255.38] 具体的なイメージが湧いてきませんので
[3255.38 - 3259.38] この講義では3段階に区切って
[3259.38 - 3263.38] 今のボルツマン分布が出てくることを説明していきます
[3267.38 - 3269.38] これも何回も言ってますが
[3269.38 - 3273.38] 私の前半の講義の目標はとにかく
[3273.38 - 3276.38] 3種類の統計分布関数を理解してもらうことです
[3276.38 - 3278.38] 3種類の統計分布関数というのは
[3278.38 - 3281.38] この黒のマクスウェル・ボルツマン分布
[3281.38 - 3284.38] 今出てきたエクスポネンシャルの形ですね
[3284.38 - 3289.38] それとフェルミ粒子が従うフェルミディラック分布関数
[3289.38 - 3293.38] FFDと書いてあるこの形
[3293.38 - 3297.38] とボーズ粒子が従うボーズ・アインシュタイン分布
[3297.38 - 3299.38] この3つです
[3299.38 - 3304.38] この3つの関数の形とこのグラフの形
[3304.38 - 3306.38] 特徴的な分布関数とこのグラフの形が
[3306.38 - 3308.38] この3つの関数の形とこのグラフの形が
[3308.38 - 3313.38] これらの3種類の統計分布関数は
[3313.38 - 3315.38] どのような場合に
[3315.38 - 3319.38] どの統計分布関数を使って問題を解いていくか
[3319.38 - 3322.38] ということをきちんと理解してもらえれば
[3322.38 - 3327.38] それだけで前半の講義は十分です
[3330.38 - 3334.38] さて今統計分布関数というのは
[3334.38 - 3341.38] 細かいことを何も考えなくても答えが出てくるんだという話をしましたが
[3341.38 - 3346.38] そうは言っても全然これじゃ何をやっているかイメージ湧かないんですね
[3346.38 - 3352.38] ということでこれから統計分布関数ボルツマン分布を
[3352.38 - 3362.38] この1 2 3の順番でそれぞれの考え方で同じボルツマン分布の形が出てくるんだということを
[3362.38 - 3366.38] 1回ずつの講義を使って説明していきます
[3366.38 - 3371.38] 一番最初今日は自由離相機体
[3371.38 - 3375.38] つまり機体分子同士が相互作用していなくて
[3375.38 - 3378.38] 外部ポテンシャルが一様である場合
[3378.38 - 3383.38] この時は空間がXYZ方向に完璧に同じですから
[3383.38 - 3388.38] その空間対称性を使うだけで統計分布関数が出てきます
[3388.38 - 3391.38] これを今日これから学びます
[3392.38 - 3398.38] 次の講義はもっと数学的になります
[3398.38 - 3407.38] 確率論を導入して異なる物理的状態というのを頭の中で数えて
[3407.38 - 3415.38] その中で同じマクロに見て同じ物理的状態になる数
[3415.38 - 3417.38] これを配置数と呼びますが
[3417.38 - 3422.38] 配置数が最大になる状態というのが実際に観測されるという過程を
[3422.38 - 3429.38] もとに統計分布関数を導出していきます
[3429.38 - 3434.38] この時には外部ポテンシャルがあっても構わないということで
[3434.38 - 3439.38] 必要な空間でない場合にも使えることを
[3439.38 - 3443.38] 場合にもボルツマン分布が使えることを確認していきます
[3443.38 - 3450.38] ただし自由離相機体つまり機体分子同士は相互作用しないということを前提に話をしていきますので
[3450.38 - 3452.38] 一般的な分子分子の使用方法はこのようにしていますので
[3452.38 - 3456.38] 一般的な場合に使えるかどうかはこの時点では分かりません
[3456.38 - 3462.38] 最後に粒子間にどんな相互作用があってもいいですよ
[3462.38 - 3467.38] 外部ポテンシャルがどうであっても構いませんよという状態でも成立する
[3467.38 - 3474.38] 整順理論を使ってボルツマン分布を導出していきます
[3474.38 - 3478.38] この1から3まで結局最後はボルツマン分布が出てくるのですが
[3478.38 - 3481.38] こういう違った過程を使ってボルツマン分布を導出していきますので
[3482.38 - 3490.38] それから導出してもどの場合でもボルツマン分布が出てくるのだということを納得してもらうというのが
[3490.38 - 3493.38] 今日から3回の講義の目的になります
[3493.38 - 3499.38] ということでここまでのところに何か質問あります?
[3499.38 - 3502.38] 質問は以上です
[3502.38 - 3504.38] 質問は以上です
[3504.38 - 3506.38] 質問は以上です
[3506.38 - 3508.38] 質問は以上です
[3508.38 - 3510.38] 質問は以上です
[3510.38 - 3515.38] 最後に整順という言葉について説明しておきますか
[3515.38 - 3521.38] これも最も日本語っぽく聞こえない日本語ですね
[3521.38 - 3525.38] 元々の英語はcanonから来ているということで
[3525.38 - 3529.38] canonというのは根本原理ですね
[3529.38 - 3534.38] ということで根本原理から
[3534.38 - 3538.38] 構成された一般性の高い理論を使っているということです
[3538.38 - 3541.38] 一般性の高い理論のことを整順理論と言います
[3541.38 - 3544.38] これを聞いてもまだよく分からないと思いますが
[3544.38 - 3548.38] 整順理論ではない理論というのはどういうものかというと
[3548.38 - 3557.38] 例えば物体の運動というのはニュートンの運動方程式に従うとすれば
[3557.38 - 3560.38] その運動というのは予測できます
[3560.38 - 3565.38] がこれはニュートンの運動方程式というものを前提として仮定しているので
[3565.38 - 3567.38] これは整順理論とは言いません
[3568.38 - 3573.38] 特殊相対性理論であろうが量子力学シュレディンガー方程式であろうが
[3573.38 - 3577.38] 何らかの大きな仮定が必要になります
[3577.38 - 3583.38] それに対して整順理論というのはこういった細かいと言ったらあれですが
[3583.38 - 3591.38] 特定の物理理論物理モデルに依存しない一般性が高い理論のことです
[3591.38 - 3596.38] ということで整順と言ってしまうととにかく細かいことを考えずに
[3596.38 - 3598.38] 何でもかんでも成立するようなものです
[3598.38 - 3602.38] そういったような理論のことをイメージしてもらっても
[3602.38 - 3608.38] 大体的に的外れではないと思います
[3608.38 - 3611.38] ということで今日の本題ですね
[3611.38 - 3618.38] 理想気体の速度の分布関数をこれから求めていきます
[3618.38 - 3623.38] このような理論のことを気体分子運動論とか分子運動論と呼びますが
[3623.38 - 3626.38] 教科書では3章に対応しますね
[3628.38 - 3636.38] それで先にこれから導出していくマクスウェルの速度分布式というのがありますが
[3636.38 - 3639.38] それについてのまとめを先にしておいた方が
[3639.38 - 3643.38] これからの議論を追いかけやすくなると思いますので
[3643.38 - 3646.38] 先にまとめておきましょう
[3646.38 - 3651.38] まず仮定としては理想気体を考えますが
[3651.38 - 3656.38] 単原子分子の理想気体でN個の粒子が分子があるというものですが
[3658.38 - 3661.38] 一種類だけの分子だけでできています
[3661.38 - 3666.38] 理想気体ですから分子同士に相互作用はありません
[3666.38 - 3671.38] 相互作用がないということは分子同士で衝突することもないし
[3671.38 - 3675.38] エネルギーを交換したり運動量を交換したりすることもないということですね
[3675.38 - 3682.38] そうすると物理的状態 統計分布関数というのは
[3682.38 - 3686.38] さっき説明したように物理的状態というのは
[3686.38 - 3687.38] 物理的状態というのは 物理的分布関数というのは
[3687.38 - 3697.38] 物理的状態というのは各粒子の位置と速度あるいは位と運動量を決めると
[3697.38 - 3701.38] 一時的に物理的状態が定まると言いました
[3701.38 - 3710.38] ここでは分子の位置 xyz と速度 vx vy vz を各粒子ごとに決めてあげると
[3710.38 - 3715.38] 物理的状態が一時的に決まるということになります
[3715.38 - 3721.38] さらに分子の運動は古典力学に従うという仮定がここでは入ってきます
[3721.38 - 3727.38] ただ古典力学に従うと言っても外部ポテンシャルはゼロで一様なので
[3727.38 - 3735.38] 各粒子のエネルギーというのは1mv²2乗ですよというこの一点だけです
[3735.38 - 3741.38] ポテンシャルは一様なので分布関数は r にはもう依存しなくなるので
[3741.38 - 3743.38] 分布関数は vx vy vz だけの関数になります
[3743.38 - 3744.38] 分布関数は r にはもう依存しなくなるので分布関数は vx vy vz だけの関数になります
[3745.38 - 3749.38] 分布関数は r にはもう依存しなくなるので分布関数は vx vy vz だけの関数になります
[3749.38 - 3759.38] さらに空間が等方的つまり vx vy vz 方向に同じという空間が等方的であるという仮定をします
[3759.38 - 3760.38] 空間が等方的であるという仮定をします
[3760.38 - 3761.38] 空間が等方的であるという仮定をします
[3761.38 - 3771.38] そうするとまず速度は vx vy vz であろうと物理的状態というのはここですね
[3771.38 - 3774.38] エネルギーの1mv²2乗で決まっていますから
[3774.38 - 3775.38] エネルギーの1mv²2乗で決まっていますから
[3775.38 - 3780.38] 統計分布関数はV事情だけの関数になります。
[3781.88 - 3786.80] V事情というのはVX事情足すVY事情足すVZ事情ですね。
[3787.86 - 3793.90] さらにX方向Y方向Z方向、VXとVYとVZというのは、
[3794.54 - 3799.58] それぞれの粒子を当てんで勝って好きな方向をとっていますので、
[3799.58 - 3805.28] それぞれは独立な関数として表されます。
[3807.24 - 3824.16] ということで、FV事情イコールGVX、GVY、GVZというG関数の積として表されるということが導かれます。
[3824.16 - 3827.04] ここまでくると、ちょっとここにうまいこと、
[3827.68 - 3829.56] VX、VY、VZの辺、
[3829.58 - 3830.92] 変換をしていくと、
[3831.86 - 3840.82] FV事情というのは定数A×exponential-αV事情の形になりますよということが出てきて、
[3840.88 - 3846.80] これがマクスウェルの速度分布関数の最終的な解になります。
[3848.46 - 3855.58] さらに、未知定数Aとαを決める必要がありますが、
[3855.58 - 3859.30] これは理想期待の状態方程式を対応させることによって決まって、
[3859.58 - 3867.46] これからマクスウェルの速度分布関数を導出する流れになります。
[3867.46 - 3878.46] いずれにしても、仮定としては、分子値のエネルギーが1mV2乗で与えられているということと、
[3878.46 - 3889.54] 空間が等方的で、XYZ方向の区別がない、分布関数がXYZ方向に独立事象であるという仮定だけしか使っていない、
[3889.54 - 3891.30] なので、マクスウェルの lF は當分同しているだろう。
[3899.48 - 3900.58] 合計の一直cia区分布一致の場合、
[3900.58 - 3909.88] まず1
[3910.54 - 3913.00] まずC仮定を読むと、
[3913.00 - 3914.50] 時間A 編成を行うと、
[3914.50 - 3916.54] 1
[3916.54 - 3918.54] 2
[3918.54 - 3919.34] 3
[3919.34 - 3919.50] 4
[3919.50 - 3919.52] 6
[3919.54 - 3925.58] Vx,Vy,Vzの速度成分は互いに独立ですよということで、
[3926.48 - 3933.46] Vx,Vy,Vzを持っている確率Fというのは独立事象の確率ですから、
[3933.58 - 3941.36] Vxを持っている確率とVyを持っている確率とVzを持っている確率の積で決まります。
[3941.36 - 3947.14] これは確率の定理というか問題ですね。
[3947.14 - 3949.76] その次、等方性を使います。
[3950.82 - 3955.56] 三方向Vx,Vy,Vzの速度分布関数は同じじゃなきゃいけません。
[3956.74 - 3964.74] ので、GVxイコールG'VyイコールG'Vzということになりますね。
[3965.64 - 3975.56] さらに空間が対象なので、座標形あるいは空間を回転させても結果は変わってはいけません。
[3976.24 - 3976.46] ので、
[3977.14 - 3983.82] 確率分布関数Fは座標形の角度θ,φには依存せずに、
[3983.90 - 3986.66] Vの絶対値だけの関数になります。
[3988.36 - 3991.50] ここまで来ると、Fというのは、
[3991.94 - 3996.88] ここではVの絶対値の関数と書いてありますが、
[3997.16 - 4003.04] 話は式展開が楽になるのでV次乗の関数ということにしましょう。
[4003.90 - 4007.12] そうすると、F、V次乗イコールVx次乗、
[4007.26 - 4010.02] Vy次乗、Vx次乗は、
[4010.46 - 4019.96] この仮定位置1'を使ってGVxに次乗をかけるGVy次乗をかけるGVzの次乗という形で書き表されます。
[4021.38 - 4027.84] ここの間で、独立変数をVxからVx次乗なんかに勝手に変えたりしてますが、
[4027.94 - 4032.28] この辺は適宜頭の中で置き換えていってください。
[4033.28 - 4036.02] 式を書きやすいのと展開が簡単になるので、
[4036.02 - 4036.66] 時々、
[4037.14 - 4043.98] 変数を何も注意せずに置き換えることがありますが、
[4044.06 - 4045.70] その辺は容赦してください。
[4046.22 - 4054.36] いずれにしても、この3.7'式というのが空間対称性から出てきます。
[4055.92 - 4060.88] じゃあ、この方程式だけからFが決められるかという問題になります。
[4061.58 - 4066.92] この辺になると、大学の数学の入試問題でも出てきそうな問題です。
[4067.14 - 4075.66] まず最初に、Vx、Vy、Vzは何をとっても成立しなければいけないので、
[4075.66 - 4081.10] VyイコールVzを0に置いた場合を考えます。
[4081.10 - 4086.62] この時、G0というのは定数なので、ここで定数Aと置きましょう。
[4086.62 - 4093.02] とやると、FのVx次乗、これVy次乗とVz次乗0ですから、
[4093.02 - 4096.02] FVx次乗はA次乗かけるVx次乗です。
[4096.02 - 4096.98] FVx次乗はA次乗かけるVx次乗です。
[4096.98 - 4097.10] FVx次乗はA次乗かけるVx次乗です。
[4097.10 - 4097.12] FVx次乗はA次乗かけるVx次乗です。
[4097.14 - 4099.90] FVx次乗はA次乗かけるVx次乗です。
[4099.90 - 4104.78] ということで、Gの関数系とFの関数系は、
[4104.78 - 4111.70] A次乗分の1を定数、係数として1対1対応するということが出てきます。
[4111.70 - 4119.10] 同じことをやると、GVy次乗とGVz次乗についても同じ関係式が出てきます。
[4119.10 - 4127.10] そうすると、また3.7'式に、このGVx次乗、Vy次乗、Vz次乗を入れると、
[4127.10 - 4139.28] V次乗というのは、A6乗分の1かけるFVx次乗、FVy次乗、FVz次乗という関係になることがわかります。
[4141.56 - 4145.74] ここでV次乗を変数にとっていると、見通し悪くなるので、
[4146.02 - 4153.78] これをVx次乗は具材、Vy次乗はイーター、Vz次乗はθで置き換えてあげます。
[4153.78 - 4157.06] そうすると、V次乗は具材プラスイータープラスθ、
[4157.10 - 4163.10] この方程式は、FVx次乗プラスイータープラスθイコール、
[4163.10 - 4171.56] A6乗分の1かけるFVx次乗かけるFイーターかけるFθになります。
[4171.56 - 4174.56] と、ここまできました。
[4174.56 - 4183.56] そうすると、次にまた、具材とイーターとθが全て0の場合を考えます。
[4183.56 - 4185.56] そうすると、F0はA6乗分の1かけるFθ、
[4185.56 - 4189.52] A6乗分の1かけるF0かけるF0かけるF0、
[4189.52 - 4194.52] ということで、これでA3乗が決まります。
[4194.52 - 4200.52] A3乗イコールF0ということが出てきますね。
[4200.52 - 4209.52] その次に、具材とθを一定として、イーターで2回微分をとります。
[4209.52 - 4213.52] そうすると、Fw'イコールA6乗分の1の1となります。
[4213.52 - 4214.52] そうすると、Fw'イコールA6乗分の1の1となります。
[4214.52 - 4215.52] そうすると、Fw'イコールA6乗分の1の1となります。
[4215.56 - 4217.52] そうすると、Fw'イコールA6乗分の1となります。
[4217.52 - 4218.52] Fw'イコールA6乗分の1の1となります。
[4218.52 - 4222.52] AmゆじかてからQmのAくんのF Steuerが threatsa。
[4222.52 - 4224.72] AmゆじかてからQmのериianoの wollteこちらで、
[4224.72 - 4230.56] AmゆじかてからQmのериianoのleistst、AmゆじかてからQm4をquo jesteleと NiNo是 matkeeperef Shamperges스를ksandO� Jam RAoSexucyteのk端間の権利と regret cutに対して知られておりますように、
[4230.56 - 4231.56] AmゆじかてからQm4のeriianoの Gulf nam xavyb искしあつ intersection of theUSA between k and the серьез sections fotie xA1の取りあえず、
[4231.56 - 4252.92] ここでイーターとθを0に置き換えてあげると、fw'θ具材、fw'具材イコールa6乗分の1、fw'0f0×f具材ということで、
[4252.92 - 4265.78] 関数になっているのは、このf具材の2回微分とf具材だけなので、2回微分方程式に直りました。
[4267.08 - 4273.00] そうすると、この2回微分方程式の解というのは一撃で出てきますね。
[4280.16 - 4280.64] ということで、
[4281.20 - 4282.90] この2回微分方程式の解というのは、
[4282.90 - 4285.32] 方程式を解くときの鉄板ですが、
[4285.90 - 4289.80] fというのは指数関数か三角関数しかありません。
[4290.74 - 4296.92] 三角関数が解になる場合には、この定数がマイナスになります。
[4298.06 - 4309.34] そうすると、一般解としてf具材というのは、定数A×sinβ具材プラス定数θになりますが、
[4311.18 - 4311.70] これは、
[4311.70 - 4317.26] beta具材プラスθの値によっては、sinがマイナスになりますが、
[4318.06 - 4322.70] 今求めているのは確率分布関数なので、マイナスは出ちゃいけません。
[4322.94 - 4326.64] ということで、三角関数のこの解というのは、
[4327.34 - 4329.38] はっきりされています。
[4330.78 - 4338.44] ということで、このa3乗分のfw'0が正の場合の解としては、
[4338.84 - 4341.02] 指数関数だけが残ります。
[4341.70 - 4344.46] 指数関数として、
[4344.62 - 4350.52] a×exponentialプラスα具材というのが出てきますが、
[4350.52 - 4355.14] これは、具材が無限大になった時に、確率は無限大に発散してしまう。
[4355.14 - 4362.66] 確率ですから、あり得る変数について全積分をとった時に、
[4362.66 - 4365.58] 1にならなきゃいけませんから、発散するのはあり得ないということで、
[4365.58 - 4370.04] exponentialプラスα具材上というのも、
[4370.04 - 4370.90] はきさとして、無限大になってしまう。
[4371.70 - 4376.70] ということで、最後に残っているのが、
[4376.70 - 4381.70] A×α具材乗になります。
[4381.70 - 4386.70] これは発散することもありませんし、マイナスになることもありません。
[4386.70 - 4391.70] 積分とれば、ちゃんと定数に収まります。
[4391.70 - 4396.70] これが最後に残った確率分布関数になります。
[4396.70 - 4401.70] 具材はVxの次乗です。
[4401.70 - 4403.70] どこで書いた?ここですね。
[4403.70 - 4406.70] 具材はVxの次乗です。
[4406.70 - 4415.70] ですので、FVxの次乗は、A×A×Vxの次乗ですが、
[4415.70 - 4423.70] FのV次乗は、FVxの次乗×FVyの次乗×FVzの次乗ということで、
[4423.70 - 4426.70] 改めて定数項をAと置き換えて、
[4426.70 - 4436.70] FV次乗はA×A×A×V次乗という分布関数が出てきます。
[4436.70 - 4439.70] というのが、
[4439.70 - 4444.70] 速度Vに関する確率分布を表す、
[4444.70 - 4450.70] マクセルの速度分布関数の導出方法と最後の結果です。
[4450.70 - 4455.70] ここまでのところ、騙されたような気になっている人もいるのではないかと思いますが、
[4455.70 - 4460.70] 改めて、質問とか、ここの部分よくわからなかったので、
[4460.70 - 4464.70] もう一度ということがあれば聞きたいと思いますけど、大丈夫ですか?
[4464.70 - 4472.70] いずれにしても、ここまでのところで、
[4472.70 - 4481.70] 統計分布関数の空間が対照的であって独立であるということだけを使って、
[4481.70 - 4484.70] ここまでの結果が導出されたと、
[4484.70 - 4491.70] されていたということになりますね。
[4491.70 - 4495.70] ここでまとめを繰り返すと、また3回同じことを言うので、
[4495.70 - 4502.70] 改めてまとめるのはやめておきましょう。
[4502.70 - 4505.70] あと残った問題というか、
[4505.70 - 4508.70] 攻撃時間があとどれくらいあるかというと、
[4508.70 - 4512.70] 25分ぐらい。十分ですね。
[4512.70 - 4514.70] あと残った問題としては、
[4514.70 - 4516.70] 極度分布関数FVは、
[4516.70 - 4521.70] A×A-αV以上ということがわかりましたが、
[4521.70 - 4528.70] ここで定数Aとαっていうのは何なんだっていうことになります。
[4528.70 - 4531.70] ここで統計力学では、
[4531.70 - 4538.70] ここに出てくるようなAとαだけを独立で決めることができません。
[4538.70 - 4542.70] というか、実際問題としては、実験結果と対応させれば、
[4542.70 - 4546.70] このαとかAっていうのは決めていけるわけですが、
[4546.70 - 4549.70] そんなことをしなくても、私たちはすでに
[4549.70 - 4552.70] 熱力学での知識があります。
[4552.70 - 4558.70] ということで、熱力学で確定している結果を使って、
[4558.70 - 4563.70] このαとAを決めていきましょう。
[4563.70 - 4566.70] まず最初の条件として、
[4566.70 - 4571.70] このVx、Vy、FVというのは、
[4572.70 - 4576.70] 確率分布関数になっていますから、
[4576.70 - 4581.70] あり得るVx、Vy、Vzについて全積分をとったら、
[4581.70 - 4586.70] kの粒子数になっていないといけません。
[4586.70 - 4591.70] ということで、Vx、Vy、Vzについて、
[4591.70 - 4594.70] 全空間積分をとってあげます。
[4594.70 - 4598.70] そうすると、非積分関数は、
[4598.70 - 4602.70] A×A-αV以上。
[4602.70 - 4605.70] A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×Vxの次乗、Vy自乗、Vz自乗で、
[4605.70 - 4607.70] それぞれVx、Vy、Vzについて、
[4607.70 - 4611.70] 独立に積分をとってあげることができるので、
[4611.70 - 4613.70] これも数学の問題でよく出てくる、
[4613.70 - 4616.70] ガウス関数の全積分をとって、
[4616.70 - 4620.70] 3乗をとってあげればいい、ということになります。
[4620.70 - 4624.70] ガウス関数の積分は、
[4624.70 - 4633.88] exponential-αx乗-無限大から無限大まで積分すると、α分のπの1乗と出てきます。
[4634.96 - 4642.50] これ丸暗記してもいいですし、導出するのもそんなに難しくはありません。
[4642.98 - 4645.04] いずれにしてもここではこの結果だけを使いましょう。
[4645.04 - 4671.88] ということで、kの流出数がnに一致するという条件を使って、さらに1体積あたりの流出数、つまり分子数密度、v分のnに直してあげると、v分のnイコールラージエイかけるa分のπの2分の3乗という関係式が出てきます。
[4673.66 - 4675.02] ということで、今、未知変数を使ってみました。
[4675.04 - 4681.88] 未知定数はラージエイとαの2つありましたが、1つ関係式がここで決まります。
[4685.70 - 4694.48] その次、分子の速度が与えられているので、圧力を計算してみましょうというのが次の問題です。
[4695.48 - 4702.04] 圧力の計算も物理科学の典型的な問題ではありますが、
[4702.66 - 4705.02] ここであまり細かいことを追っていかないといけません。
[4705.04 - 4713.62] この問題は、どのような手順で圧力を計算していくかということを追って、結論を見ていきましょう。
[4714.80 - 4727.30] まず、圧力を計算するときに、このkにはvx、vy、vzの速度を持っている分子がn個ありますよという、
[4729.60 - 4734.80] そのn個の分子が体積分位の中に入っていますよという状況を考えます。
[4735.04 - 4747.14] 圧力を計算する際に、x平面、つまりyzで張られる平面にかかっている圧力を計算します。
[4748.14 - 4759.78] そのときの圧力の計算というのは、ある速度vを持った分子がこのx平面に断制し、
[4759.78 - 4762.88] 衝突して跳ね返ります。
[4763.88 - 4764.76] そのときの、
[4765.04 - 4777.70] 運動量の変化が圧力になるという力学の運動量変化の式を使います。
[4780.08 - 4784.54] ということで分子の速度VというのをVx,Vy,Vzに分けて、
[4784.66 - 4792.56] 断正衝突によってVxだけは-Vxに断正される。
[4792.56 - 4796.74] Vy,Vzの成分は分かりません。
[4796.86 - 4797.68] これまた間違っている。
[4798.44 - 4801.46] ということでVyは変わらずVzも変わりません。
[4802.40 - 4810.62] そうすると壁に当たって断正衝突した際の運動量変化というのは
[4810.62 - 4818.64] X方向だけに発生していて、それが-2mVxです。
[4819.74 - 4821.64] これが運動量変化ですね。
[4822.56 - 4828.94] それでは次に単位時間において、
[4829.94 - 4836.20] X平面に衝突して分子の運動量が変化した分が
[4836.20 - 4839.90] X平面に対して圧力をかけるわけですが、
[4840.50 - 4845.98] その時の全運動量の変化、時間変化を計算してみましょう。
[4846.08 - 4850.40] これが時間あたりの運動量変化、dt分のdpになります。
[4851.44 - 4852.54] ということでまず頭に、
[4852.56 - 4857.80] -2mと統計分布関数が出てきます。
[4858.48 - 4861.30] -2mと統計分布関数のa。
[4863.04 - 4868.04] 微小面積dsにかかる運動量変化を計算しますので、
[4868.64 - 4875.00] 面積dsがかかってVx,Vy,Vzに対しての全積分をとりますが、
[4875.64 - 4880.94] Vxに関してはプラス方向のVx成分を持っているものしか
[4880.94 - 4881.98] 壁には衝突しない。
[4881.98 - 4882.00] 壁には衝突しない。
[4882.00 - 4882.06] 壁には衝突しない。
[4882.06 - 4882.12] 壁には衝突しない。
[4882.12 - 4882.14] 壁には衝突しない。
[4882.14 - 4882.54] 壁には衝突しない。
[4882.56 - 4883.06] 壁には衝突しないので、
[4883.56 - 4886.40] 0から無限大の範囲で積分をとります。
[4888.48 - 4890.60] 統計分布関数の方は、
[4890.94 - 4896.20] ラージエーかけるエクスポネンシャルマイナスアルファVの事情ですが、
[4897.02 - 4901.98] この時に運動量変化がVxあります。
[4903.14 - 4908.36] プラス、単位時間に衝突する分子というのは、
[4908.88 - 4912.10] Vxを持っている成分の対策を、
[4912.10 - 4918.36] 対策、つまりDSかけるVxの対策の分子が衝突しますから、
[4918.46 - 4920.44] それをかけてVx事情が出てきます。
[4923.22 - 4923.58] ということで、
[4925.26 - 4928.52] 次に圧力Pというのは、
[4929.06 - 4931.10] 壁にかかっている力を、
[4931.56 - 4940.56] 力の力を単位面積で平均と割ってあげることで出てきます。
[4941.10 - 4941.22] ので、
[4942.10 - 4945.32] 圧力Pイコール-DS分のDF。
[4945.74 - 4947.04] DFは、
[4947.94 - 4952.46] 運動量の時間変化になりますから、
[4953.32 - 4957.38] -DS分のDかけるDT分のDPでここを置き換えます。
[4958.40 - 4959.22] とすると、
[4959.64 - 4963.34] ここのDSが消えてマイナスが消えますので、
[4963.34 - 4964.26] 圧力Pは、
[4964.34 - 4972.08] 2MラージエーかけるDVxかけるDVx事情かけるエクスポネンシャルマイナスアルファVの事情です。
[4972.10 - 4973.98] アルファVx事情上。
[4974.98 - 4976.68] で、Vyの積分が、
[4977.04 - 4981.86] エクスポネンシャルマイナスVy事情上をVyで全積分。
[4982.44 - 4984.70] Vzについても同じですね。
[4986.04 - 4987.44] この最後の2つはまた、
[4987.68 - 4990.98] ガウス積分になります。
[4991.92 - 4997.46] 頭のVx事情かけるエクスポネンシャルマイナスアルファVx事情上の積分は、
[4998.00 - 5001.94] ガウス積分をアルファで微分とってあげると簡単に求まります。
[5002.10 - 5005.74] ここでは結果だけいきますが、
[5005.74 - 5012.74] Vxが0から無限大の半無限積分の定積分の値は、
[5012.74 - 5017.10] 1かけるアルファの3乗分のπの2分の1乗です。
[5017.10 - 5019.10] これに、
[5019.10 - 5021.10] ガウス積分の
[5021.10 - 5025.10] a分のπの2分の1乗の事情をかけてあげると、
[5025.10 - 5027.10] 圧力イコール、
[5027.10 - 5030.08] 2アルファ分のMラージエーかける、
[5030.08 - 5032.08] アルファ分のπの2分の1乗の事情をかけてあげると、
[5032.08 - 5034.08] 2分の3乗と出てきます。
[5034.08 - 5036.08] ここで先ほど、
[5036.08 - 5040.08] 全粒子数の関係式から求めた、
[5040.08 - 5042.08] V分のNイコール、
[5042.08 - 5046.08] aかけるa分のπの2分の3乗という式を使ってあげると、
[5046.08 - 5048.08] 圧力Pイコール、
[5048.08 - 5050.08] V分のNかける、
[5050.08 - 5054.08] 2アルファ分のMという関係式が出てきて、
[5054.08 - 5056.08] これでアルファが、
[5056.08 - 5062.08] PとNVとの関係で表されているわけですね。
[5062.08 - 5066.08] ということで、
[5066.08 - 5068.08] ここで、
[5068.08 - 5070.08] Nを1モルトする、
[5070.08 - 5072.08] 別に1モルトしなきゃいけない理由もないですが、
[5072.08 - 5074.08] 見やすくなるので、
[5074.08 - 5076.08] Nを1モルトして、
[5076.08 - 5078.08] 状態方程式を書いて比較してみましょう。
[5078.08 - 5082.08] PVイコールRTになります。
[5082.08 - 5084.08] そうすると、
[5084.08 - 5086.08] こちらのPV、
[5086.08 - 5088.08] Pイコール、
[5088.08 - 5090.08] 2アルファ分のMと対応できますね。
[5090.08 - 5092.08] ということで、
[5092.08 - 5094.08] 最終的に、
[5094.08 - 5096.08] 2アルファV分のMかけるNAイコールV分のRT、
[5096.08 - 5098.08] このNAというのは1モルになっているので、
[5098.08 - 5100.08] NがNAに追いかかっていますが、
[5100.08 - 5102.08] この関係式が出てきて、
[5102.08 - 5104.08] アルファイコール2RT分のM、
[5104.08 - 5106.08] NA、
[5106.08 - 5108.08] ラージRは気体定数なので、
[5108.08 - 5110.08] NAで割ると、
[5110.08 - 5112.08] ボルツマン定数kBになるので、
[5112.08 - 5114.08] アルファイコール2kBt分のRT、
[5114.08 - 5116.08] RTは気体定数なので、
[5116.08 - 5118.08] NAで割ると、
[5118.08 - 5120.08] ボルツマン定数kBになるので、
[5120.08 - 5122.08] アルファイコール2kBt分のMと決まります。
[5122.08 - 5124.08] これで、
[5124.08 - 5126.08] アルファイコール1RT分のRTが決まりました。
[5126.08 - 5128.08] これで、
[5128.08 - 5130.08] アルファイコール2RT分のRTが決まりました。
[5130.08 - 5132.08] 今度、
[5132.08 - 5134.08] 全粒子数の関係式にアルファイコール2RTを入れて、
[5134.08 - 5136.08] aで解くと、
[5136.08 - 5138.08] aイコールV分のNかける2mkT分のMの2分の3乗乗、
[5138.08 - 5140.08] aイコールV分のNかける2mkT分のMの2分の3乗乗、
[5140.08 - 5142.08] ということになって、
[5142.08 - 5144.08] 未知定数が全部決まりました。
[5144.08 - 5146.08] ということで、
[5146.08 - 5148.08] 最後のマクスウェルの速度分布関数の形というのは、
[5148.08 - 5150.08] 速度分布関数の形というのは、
[5150.08 - 5152.08] 頭の定数が、
[5152.08 - 5154.08] ややこしい形なんです。
[5154.08 - 5156.08] V分のNかける2πkT分のMの2分の3乗乗、
[5156.08 - 5157.84] 見てから上方等しか分ラインに戻りませんが、
[5157.84 - 5159.84] V分のNかける2πkT分のMの2分の3乗乗、
[5159.84 - 5161.20]  dignity main2πkT分のMの2分の1mv乗乗×e kt分のMいわと3mov乗になります。
[5161.20 - 5163.02] V分のNかける2πkT分のMの3mov乗×e kt分のMいわと3mov乗×e kt分のMいわと3mov乗× 누�
[5163.02 - 5165.02] これが最後の結果で、
[5165.02 - 5167.02] これが最後の結果で、
[5167.02 - 5169.02] ですが、
[5169.02 - 5175.12] ですが、この辺の定数のことを一切忘れちゃってもいいです。
[5175.48 - 5184.40] というのも、この定数というのは、Vx,Vy,Vzに対して全積分を取ってあげると出てくるので、
[5184.76 - 5188.00] これを完全に忘れても、後で簡単に導出できます。
[5189.38 - 5192.72] エクスポネンシャルの中身はちょっとややこしそうに見えますが、
[5192.72 - 5201.30] これ1分の1mV次乗が粒子1粒子のエネルギーになっているということに気が付けば、
[5201.46 - 5207.54] エクスポネンシャル-kt分のE乗になっているだけということはわかりません。
[5207.54 - 5220.38] つまり、ここで話をしたエクスポネンシャル-kt分のE乗という式が、
[5221.46 - 5222.70] 空間の等分のE乗を、
[5222.72 - 5227.00] 平方性、独立性から出てきたということが確認できます。
[5228.56 - 5229.86] ということですね。
[5232.10 - 5236.68] これで、今日目的としていたマクセロン速度分布関数の話は、
[5236.72 - 5238.62] 完璧に終わりになりますが、
[5239.80 - 5244.14] また聞いてみますけど、質問あります?
[5247.78 - 5252.54] とにかく、ニュートンの運動方程式を解く必要も全くなくて、
[5252.72 - 5257.04] エネルギーが1分の1mV次乗であるという音と、
[5257.10 - 5258.52] 空間が等方的で、
[5258.96 - 5262.00] XYZ方向が独立であるという仮定、
[5262.46 - 5263.82] 前提だけから、
[5264.30 - 5270.56] 指数関数の統計分布関数が同時されるというところが、
[5270.66 - 5271.84] 今日の疑問ですね。
[5273.80 - 5274.92] 次回以降は、
[5275.44 - 5279.48] 次回はもうちょっとこれを確率論的に、
[5279.48 - 5280.90] 同じ結果が出てくる。
[5281.20 - 5281.68] しかも、
[5282.32 - 5282.56] 次回以降は、
[5282.56 - 5282.60] 次回以降は、
[5282.60 - 5285.52] 外部ポテンシャルが0で1乗という仮定なくて、
[5285.64 - 5290.46] 2の外部ポテンシャル下の自由理想期待で、
[5290.66 - 5292.30] 同じ結果が出てくるということを、
[5292.40 - 5293.98] 次回勉強していきます。
[5295.52 - 5297.90] この後、教科書の方は、
[5297.98 - 5300.98] もうちょっとおまけがあるんですね。
[5302.64 - 5304.14] 今説明しましたが、
[5304.26 - 5307.00] ボルトマン分布の形は、
[5307.04 - 5308.64] ちょっとややこしく見えますが、
[5308.64 - 5312.56] 2分の1mV以上がエネルギーということが分かれば、
[5312.60 - 5319.60] エクスポネーション-kt分のe乗で全部書けます。
[5319.60 - 5323.40] このことをボルトマン因子と呼びます。
[5323.40 - 5330.80] さらに、kt分の1という係数は頻繁に出てきますので、
[5330.80 - 5333.02] これを今後βと書きますので、
[5333.02 - 5334.94] βと出てきたら、
[5334.94 - 5339.44] 無条件でkt分の1だと直してください。
[5342.60 - 5349.30] この後、速度分布関数の形について、
[5349.30 - 5352.10] いろいろな話が出てきますが、
[5352.10 - 5357.10] これもちょっとさらってと流していきましょうか。
[5357.10 - 5358.10] あと10分ぐらいですね。
[5358.10 - 5362.40] まず、速度分布関数Fというのは、
[5362.40 - 5372.40] エクスポネーション-kt分の1mV以上に比例しているということを説明しました。
[5372.60 - 5376.30] ここで書いているVというのは、
[5376.30 - 5383.30] 速度の次乗ですから、Vx次乗プラスVy次乗プラスVz次乗です。
[5383.30 - 5391.60] とすると、速度ベクトルがVからVプラスDVの間にある分子数というのは、
[5391.60 - 5400.40] 等型分布関数Fに速度の体積素辺DVをかけて、
[5400.40 - 5402.40] FvDVイコールFVDV。
[5402.60 - 5408.60] 低数Aかけるエクスポネーション-kt分の1mV以上かけるDV。
[5408.60 - 5410.60] DVというのは体積素辺ですから、
[5410.60 - 5416.60] DVxかけるDVyかけるDVzになります。
[5416.60 - 5419.10] この式を見ればすぐに分かりますが、
[5419.10 - 5421.10] この確率分布が最大になるのは、
[5421.10 - 5424.60] VxとVyとVzが0のところが、
[5424.60 - 5429.60] このボルツマイン子の最大項になります。
[5429.60 - 5432.10] ここで勘違いしてはいけないのは、
[5432.60 - 5436.60] 実際の気体というのは、
[5436.60 - 5441.10] 速度が0、つまり静止している分子が一番多いのかというと、
[5441.10 - 5444.10] これは単に数式上のトリックです。
[5444.10 - 5446.10] なぜかというと、
[5446.10 - 5450.10] ここでは確かにVの絶対値が0の場合に、
[5450.10 - 5455.60] 速度分布関数は最大値をとりますが、
[5455.60 - 5459.60] その時、この体積素辺の大きさというのは、
[5459.60 - 5461.60] Vx、Vy、Vzが0の、
[5462.60 - 5467.60] 原点付近の極小体積を示していますので、
[5467.60 - 5470.60] そもそも体積は0になります。
[5470.60 - 5477.60] Vx、Vy、Vzを持っている分子の数というのは、
[5477.60 - 5480.60] 確率としては最大をとりますが、
[5480.60 - 5487.60] その部位を持っている体積としての確率は0になりますので、
[5487.60 - 5490.60] 実際の確率、Fv、Dvとしては0になります。
[5490.60 - 5491.60] 実際の確率、Fv、Dvとしては0になりますので、
[5491.60 - 5493.60] 実際の確率、Fv、Dvとしては0になりますので、
[5493.60 - 5494.60] 実際の確率、Fv、Dvとしては0になりますので、
[5494.60 - 5495.60] 実際の確率、Fv、Dvとしては0になりますので、
[5495.60 - 5503.60] 速度が絶対値Vを持っている粒子の割合はいくつか、
[5503.60 - 5506.60] ということを考えようとすると、
[5506.60 - 5509.60] このVx、Vy、Vzの体積素辺を、
[5509.60 - 5514.60] 速度の絶対値1変数に直してあげる必要があります。
[5514.60 - 5516.60] これは数学でもよく出てきた、
[5516.60 - 5519.60] 極座標の積分に直すやり方のままです。
[5519.60 - 5520.60] 極座標の積分に直すやり方のままです。
[5520.60 - 5522.60] 極座標の積分に直すやり方のままです。
[5522.60 - 5527.60] ということで、XYZの体積素辺を、
[5527.60 - 5535.60] θ、φについて、独立な関数の場合に、
[5535.60 - 5540.60] 同系部分だけで積分に直してあげると、
[5540.60 - 5548.60] DVx、DVy、DVzイコール4πV次乗かけるDVになります。
[5548.60 - 5549.60] DVx、DVy、DVzイコール4πV次乗かけるDVになります。
[5549.60 - 5550.60] DVx、DVy、DVzイコール4πV次乗かけるDVになります。
[5550.60 - 5552.60] なので、速度Vの絶対値を持っている分子の数は、
[5552.60 - 5558.60] なので、速度Vの絶対値を持っている分子の数は、
[5558.60 - 5563.60] fv、つまりexp-kt分の1nの2V次乗、
[5563.60 - 5568.60] x4πV次乗かけるDVに比例しますので、
[5568.60 - 5569.60] x4πV次乗かけるDVに比例しますので、
[5569.60 - 5571.60] 実際に速度Vを持っている粒子値がどれくらいの割合でいるかは、
[5571.60 - 5573.60] 実際に速度Vを持っている粒子値がどれくらいの割合でいるかは、
[5573.60 - 5577.60] 4πV次乗かけるFVで決まってきます。
[5577.60 - 5578.60] これをグラフに書いてあげると、
[5578.60 - 5579.60] これをグラフに書いてあげると、
[5579.60 - 5581.06] こういう関数になって、
[5581.94 - 5588.72] どの速度を持っている分子が一番数が多いかというのは、
[5588.72 - 5595.78] V事情、エクスポネンシャル-2KT分のMV事情をVで微分とってあげて、
[5595.84 - 5597.72] 0になるところにとってあげればいいので、
[5597.72 - 5611.14] 速度がMV-2KTの2分の1の速度を持つ分子が一番多いという結論になります。
[5620.16 - 5620.64] ということで、
[5621.20 - 5626.62] マクセルの速度分布関数、元の状態からだと、
[5626.70 - 5627.70] 誤解がありません。
[5627.72 - 5628.58] 誤解が出ますが、
[5629.16 - 5631.36] 実際の速度分布というのは、
[5631.70 - 5634.02] 速度0の分子の割合が0で、
[5635.12 - 5637.16] M分の2KT分の2分の1乗、
[5637.34 - 5639.38] これ、熱速度と言いますが、
[5639.44 - 5643.82] 熱速度でFVが最大になるというのが、
[5643.92 - 5650.44] 正確な速度分布の理解になります。
[5652.46 - 5655.82] この後、また色々な積分式、
[5656.70 - 5657.68] 積分をとって、
[5657.78 - 5660.96] 平均値をとるという作業が出ていますが、
[5661.56 - 5662.56] これ飛ばしていいかな、もう。
[5663.96 - 5666.34] これは講義で、
[5666.42 - 5669.74] この後あまり出てくることはありませんが、
[5670.36 - 5673.32] 大学院の入試問題とかでは、
[5673.42 - 5676.58] 典型的に出てくるようなパターンですが、
[5676.70 - 5679.94] 基本的には、この後はもう数学の問題になるので、
[5680.50 - 5686.12] 必要に応じて各自で積分計算ができるようにしてください。
[5686.12 - 5686.32] はい、どうぞ。
[5687.72 - 5689.72] はい、どうぞ。
[5689.78 - 5694.16] さっきも、ガウス関数の定積分をとるときに、
[5694.22 - 5695.66] このテクニックを使いましたが、
[5695.78 - 5696.84] 一つだけ、
[5698.24 - 5701.92] べき乗と指数関数が入っているような積分の場合は、
[5703.18 - 5706.68] 微分可能なパラメータαを入れた定積分を、
[5706.94 - 5709.46] 一回計算しておくと、
[5709.86 - 5713.84] そのAに関する微分によって、
[5713.96 - 5717.34] 違うべき乗の定積分をすぐに計算できるようになります。
[5717.34 - 5717.36] はい、どうぞ。
[5717.36 - 5747.34] はい、どうぞ。
[5747.36 - 5777.34] はい、どうぞ。
[5777.36 - 5807.34] はい、どうぞ。
[5807.36 - 5808.04] これについては、
[5808.50 - 5813.70] A分のπの2分の1乗という答えを先に分かっているものとして、
[5814.38 - 5814.94] そうすると、
[5815.04 - 5819.20] X2分の3乗かけるエクスポネンシャルのマイナスAX乗の積分は、
[5819.70 - 5823.62] こいつをAで微分してやってマイナスをとってあげればいい。
[5824.28 - 5827.16] さらに、X2分の5乗の積分については、
[5827.22 - 5829.50] さらにこれをAで微分とってあげればいいということで、
[5829.62 - 5831.12] どんどんどんどん計算できます。
[5831.78 - 5832.78] というようなことを、
[5833.20 - 5837.16] これから統計力学では何回も出てきます。
[5837.36 - 5841.54] さらに、この全化式を一般化したのがγ関数。
[5842.10 - 5844.18] さらに、γ関数では、
[5844.34 - 5846.28] このべき乗の部分を、
[5846.28 - 5849.48] 整数、半整数だけではなくて、
[5850.54 - 5852.06] 実数まで拡張できます。
[5853.04 - 5855.68] が、同じ結果が出るということは、
[5855.74 - 5857.80] 簡単に確認できます。
[5859.22 - 5860.68] ということで、これを使うと、
[5861.14 - 5862.94] VのP乗の平均というのも、
[5863.02 - 5864.70] すぐに計算できるようになります。
[5865.50 - 5865.86] ということで、
[5865.86 - 5868.00] 等分配の法則の話を、
[5868.06 - 5869.62] 本来しなきゃいけなかったけど、
[5870.30 - 5872.66] もう時間なので、これでやめておきましょう。
[5873.36 - 5878.08] 次回は、等分配の法則の説明をした上で、
[5879.48 - 5883.86] 配置数を最大化する分布関数として、
[5883.96 - 5886.50] マクセル・ボルツマン分布を導出していきます。
[5888.20 - 5890.24] ここで、今日の課題について、
[5890.34 - 5891.22] もう一回戻ります。
[5891.22 - 5892.28] うーんと、
[5893.44 - 5895.84] こいつね、
[5895.86 - 5898.52] 統計分布関数、最後は、
[5898.52 - 5902.36] exponential-kt分のe乗の形になりましたが、
[5902.48 - 5904.92] なんで、実数関数の形になっているのかを、
[5905.00 - 5906.14] 簡単に説明して、
[5906.32 - 5908.12] T2スカラーを通して、
[5908.64 - 5910.90] 提出してくださいというのが、
[5911.00 - 5912.04] 今日の課題です。
[5912.58 - 5915.92] また、質問が、他に自由な質問を受け付けますので、
[5916.06 - 5918.92] ぜひ、気楽に質問してくださいな。
[5919.76 - 5921.80] ということで、今日の講義はここまでですが、
[5921.98 - 5923.96] 最後に質問ありますか?
[5923.96 - 5924.44] はい。
[5925.86 - 5927.86] なければ、これで終わりにしましょう。
[5927.86 - 5929.86] 皆さん、お疲れさまでした。