だってここでは逆講師について 復習した後 共編半篇テンソルという概念について 学び逆講師と 実講師の関係にどのように関わってくるかについて説明をしていきます 最初に逆講師についての復習をするです 逆講師はここに書かれているように定義されていますこの結果として 実講師の基本ベクトルA ijと 逆講師の基本ベクトルAスターiは互いに企画直行化しています そのために 実講師の絵を描ければ逆講師の絵が大雑把に描けます まず A1軸は A1 Aスター1軸はA2軸に直角方向に Aスター1軸をベクトルを描きます 逆講師での長さは 実講師の長さ分の1に大雑把に比例しますので Aスター2とAスター1の長さは 実講師のA1とA2の長さの反比例関係にあります さらに Aスター2は A1ベクトルに直行しているのでAスター1とAスター2はこのように描けるということになります また この結果逆講師の軸角ですね こちらは 実講師の 実角の補格に対応します ただ これらの関係は参射症など 直行座表型でない 講師については 正確にはなり立ちませんが大雑把にこの関係がなり立つと考えて 大体の場合は問題ありません次に 逆講師の基本ベクトルが分かったので 実際に逆講師の講師点を描いていきましょうまず 実講師の基本ベクトルをどう取るかで 取るかですが ブラベー講師の基本ベクトルABを使って逆講師を描くと このようになります そうすると 逆講師点はこのように並ぶことになりますね一方 実講師の基本講師からスタートすることもできます 基本講師の講師ベクトルはABとBPですからこれを使って逆講師ベクトルを描くと このようになります その結果として講師点はこのように並びますね上と下の講師点 逆講師点を比較すると 配列の仕方が違っているということが分かります逆講師が一時的に決まっていないということで これは問題ですねただ この問題は 実講師 決勝講師の話を最初にしたときを同様に講師点が与えられていても 逆講師は一時的に決まらないという問題から発生しています逆に言えば 逆講師を組むときに 逆講師をスタートにして組んではいけないということですねあくまでも 実講師の講師点から逆講師点を 逆講師を作らないといけませんそこで 逆講師は実講師の風流変換であるということを 理解してほしいと思います逆講師は何で導入されたかというと エクステン解説などの解説がくるあとは 答え物理でバンド理論ですねこれらに共通しているのは いずれもエクステンとかの電子派あるいは電子とかの物質派の感傷が重要な領域であるということこれらの感傷を理解するために 逆講師を導入すると便利だということですサンラン理論の式を式に戻ってみますと サンラン理論の式というのはハスベクトル系 サンランベクトル系ですねで 散乱された波が エクスポネーシャルにパイ アイ ケイ アイの印紙を持って電子密度分布 あるいは原子核スピン分布等での風流変換でサンラン信復が決まるという式になっていますこの時 サンランベクトル系がブラック条件を見たした時にS系が極大になります これがブラック反射の条件ですねこのようなことから 逆講師店において 物理的に意味があるのはSサンラン信復がゼロでない逆講師店だけということを分かっていただけるかなと思います このことはつまり逆講師店をプロットする時には 解説における つまり風流変換における消滅速を考慮しないといけないということですそこで 先ほどの逆講師の絵から消滅速を考慮して書き直してみましょう まず 実講師のブラベー講師は面白になっていますので 解説店の消滅速はこのようになりますHプラスKが奇数の解説店は消滅しますので消しますそうすると逆講師も面白い講師になりますねこの罰の点を消した講師というのは 下の基本講師ベクトルから逆講師を組んだ時の講師店の配列と一致します ということで消滅速を考えれば無順はなくなるということを 理解していただけると思いますその結果として 三次元の実講師の逆講師を考えてみると大進立法講師の時には 講師店は00と1分の1 2分の1 2分の1の2つがありますが消滅しない数はHプラスKプラスLが 偶数の場合ですこれは逆講師において 面進立法講師を取るということを意味しています実講師は面進立法講師の場合は 消滅しない数はHKLが奇数のみか偶数のみの場合ですつまり 逆講師は大進立法講師になるということが分かりますこれらを他のブラベー講師に対しても考えてみると実講師と逆講師の対応はこのようになります面進講師は大進講師に変換され 大進講師の逆講師は面進講師になります単純講師と低進講師は 実講師でも逆講師でも変わりませんcrystaldrawcell.pyというプログラムは赤い線で逆講師の単位講師を書いていますこのプログラムを読むことによって どうやって逆講師を算して可視化することができるか 理解できるかと思います次に 実講師と逆講師の関係を理解するためには共編ベクトルと半編ベクトルと いう概念を理解すると非常に簡単になりますということで 共編と半編という概念についてまず説明していきます1つ前の録画で 公式変換のルールについてまとめましたそのルールというのは 実講師の講師ベクトルが変換行列Tで変換されるとき 実講師の座標はTの点値の逆行列で変換されるということそして 逆講師の基本ベクトルはTの点値のマイナス1上で変換される逆講師の座標 つまりミラー質はTで変換されるということをまとめましたこうやって見てみると 規定ベクトルと座標の変換速というのは2種類に分類できます 実講師ベクトルと同じ変換規則つまりTによって変換を受ける 実講師の実講師ベクトルと逆講師の座標 ミラー質は同じグループに属しこれを共変ベクトルと呼びます 一方 Tの点値のマイナス1上で変換されるのは 実講師座標と逆講師ベクトルですこれらは半変ベクトルと呼ばれます 共変ベクトルとは逆のルールに基づいて 変換されるという意味ですねそれでは 軽量点するはどうでしょう 実講師の軽量点するは実講師の基本ベクトルAIとAJの内関で定義されますこれを座標変換すると G'ijというのはA'iとA'jの内関ですのでそれぞれを変換速を当てはめます その結果としてやはりGklを実講師ベクトルの変換行列 T'ijとTjlを使って変換した形になっています このことからG'ijは共変ベクトルの変換速tを2つ使って 変換される2回共変点するであることがわかります 逆講師の軽量点するはA'iとA'jの内関で定義されます 先ほどの議論と同様にRgijは逆講師の 半変ベクトルの変換行列DKIの逆行列を2つ使って変換されます このことから逆講師の軽量点するは2回の半変点するであるということがわかります このようにして半変化共変化を判断していくことができます次に 講師変換した際の 実講師と逆講師を変換した際の変換行列が何に どのようになるかを見ていきます まず一般座標計から一般座標計の変換ルールについては前の録画で説明しています その結果 このような関係式が出てきますがこの時 A'1 A'2 A'3がA1A2A3の逆講師である場合A'iとAjの内関は このネッカーデルタを使ってデルタIjになりますつまり こちらの変換則にA'1 A'2の内関をとって行列で表現してあげるとこのような式になりますが このうちの左の逆講師ベクトルと実講師ベクトルの内関の行列は タイン行列になるのでこの関係が非常に簡単になりますということで 実講師から逆講師変換の変換則について先ほどの行列式をまとめてみましょう これをもっと見やすく書くと変換行列は 実講師の軽量点数の行列の逆行列になるということがわかりますこの実空間の軽量点数の逆行列というのは 後で説明しますが逆空間の軽量点数に一致しますということで 実講師ベクトルとを逆講師ベクトルに変換する際の変換行列は逆講師の軽量点数に等しいということがわかりますこのようにして 実講師と逆講師の変換則と軽量点数が関係付けられますだってここで 共変ベクトルと半変ベクトルという概念が今まで出てきましたがそれらの内関はスカラになるということを確認していきたいと思いますまず それぞれの座標計において 同一の座標計において 同一のベクトルRを考えますそうすると座標変換した後の AIプライム kxiプライムのRは AIkxiのRに等しくなりますAプライムi 統計xixプライムiを座標変換するとこのようになりますAプライムiはTijで変換されます 一方で実空間の座標はTli 展示してますねの逆行列で変換されるということに注意してくださいこれを書き直すとこのようになります ここでTIkとTijの逆行列のiに関するわというのが分かりにくいですがこれを行列で書き直してあげるとこのようになります 右の方は展示を通ると次第の逆行列に等しくなりますので これ実は単位行列になります つまりこの関係式というのはAI 最初の一般座標計でのベクトルの表現Rと座標変換をした後の表現Rが同じであるつまりベクトルRは不変量であるということを再確認しているものです このルールはその他の強変Viと反変ベクトルWiこれはどのようなものをとっても構いませんが 内積の座標変換でも同じ変換色が成立しますつまり強変ベクトルRと反変ベクトルの内積は必ず不変量スカラーになりますこのようなことから反変ベクトルと強変ベクトルの書き方に規則を作ると非常に見通しが良くなりますまず強変ベクトルの袖字は下付きに書きます 反変ベクトルの袖字は上付きに書きますこのようなルールを決めた上で強変成分と反変成分の間では内積をとるとスカラーになって袖字が消えますそのため愛因士タイムは相対性理論を展開する際に 強変ベクトルと反変ベクトルの内積をもっと簡単に書くことを提案しましたつまりこのXIとAIについてIについてはをとる際 反変ベクトル成分と強変成分が出てきた場合にはうわき号、シグマを省略してXI、AIと簡略化して書こうということです これを愛因士タイムの宿泊記報と言いますさらにこの書き方は便利なのは 同じ袖字記号、愛が上と下にペアで現れればそれがスカラー量になるということが一目見ただけでわかるということですねということで今まで出てきた量を袖字規則に従って書き直してみましょう実行詞の基本ベクトル、実行詞の軽量点する逆行詞の座標は 変換行列Tによって変換されるので強変ベクトルですということで袖字を下に下付きで書きます 一方実行詞の座標、逆行詞の基本ベクトル、逆行詞の軽量点するは 反変点するですので袖字を上に上付きで書きますこのような書き方をすると、わざわざ逆行詞の軽量点するをRGijとか書かなくても袖字の位置で区別できるのでこれを単純にGij上付きと書くことができるようになりますこのようにしてみると、例えばベクトルの距離の事情、ノルムの事情ですねはこのようにGij×xi×xjのiとjの相撲になりますが実行詞の軽量点するが2回の強変点するであって 座標の方は反変点するであるのでそれぞれ下付きと上付きのi、jで相撲をとるとこれらが消えてスカラーになるということはわかりますつまりベクトル上がるの長さの事情は不変量スカラーであるということは一目でわかりますこのように強変成分と反変成分を上付きの袖字と下付きの袖字に分けて書くことによって点するが出てくる方程式の左変と右変で、両変が同じ変換則に従うつまり同じ袖字構造になっているということがわかればその方程式は座標変換に対して不変であるということは一目でわかるようになりますこれを方程式は強変であると言います実際に私たちは今大学以上で学ぶ物理法則は何らかの対象性を満たすことが要請されていますこのような場合に物理法則をラグランジアンのようなスカラーで表現するか強変形式の点する方程式で表現し、方程式の左変と右変が同じ変換質則に従うことを確認できればその方程式というのは要請されている対象性を満たすということが一目でわかります例えば特殊相対成論にはマクセルの方程式はローレンツ変化に対して強変です一般相対成論はさらに一般的表変化に対して強変な理論です上限理論はローレンツ強変等に加えて長対小性に変化に対して不変であるということは要請されていますので最終的な方程式は、最終的な方程式というか出発地点のラグランジアンはローレンツ強変等、長対小性不変な等性質から設計されますというようなことがありますので物理法定式を強変半変という概念を使って整理すると非常に便利で見通しが良くなりますさらにいろいろな物性についてその物性に出てくる成分が強変なのか反変なのか分からないことがありますしかしながらそのような未知の成分の場合にも強変な方程式に相え時期速を使ってあげると未知のベクトルあるいはテンソルが強変化半変化が分かります例えば実行種の変換行列今までは触れてきませんでしたがは強変ベクトルであるAJを強変ベクトルである別の座表形のAプライマアイに変換する行列Tijですしかしこの書き方だとTijが強変化半変化よく分かりませんが今までの相え時期速に戻ってみるとJではを取っているのでこれは強変成分と半変成分の和でないといけませんまた相え時iは差辺に残っているのでこれは強変成分でないといけませんので強変形式でこの式を表すとTijのiは下付きJは上付きにならないといけませんこのことからTijは強変成分と半変成分を一つずつ持っている2回テンソルであるということが確認できます同様のことをすると逆行詞の変換行列はi成分が半変J成分が強変テンソルにの強変の2回テンソルであることが分かりますここでTijと逆行詞のTijは同じ記号を使っていますが相え時の位置が違うので明確に区別できることに注意してくださいこれは軽量テンソルについて逆行詞でもGiJと書いていても相え時の位置によって逆行詞の軽量テンソルか逆行詞の軽量テンソルかを明確に区別できたということと同様です次に話をする最初のこの項はこれも1つ前の録画で証明した結果ですが実行詞ベクトルを逆行詞ベクトルに変換する行列は逆行詞の軽量テンソルでしたこのことから実行詞の強変ベクトル基本ベクトルを逆行詞の軽量テンソルで変換してあげた結果のAIという半編ベクトルというのは逆行詞ベクトル逆行詞の基本ベクトルであるということが分かりますさらに逆行詞ベクトルの性質からAIとAJの内積はデルタIJになりますここで逆行詞の基本ベクトルAIを座標変換してこちらの規則を使って座標変換しますそうするとAKとAJ実行詞の基本ベクトル間の内積は実行詞の軽量テンソルになりますのでこのような関係式が出てきますこれとクロネッカーデルタを統治できるので逆行詞の軽量テンソルは実行詞の軽量テンソルの逆行列であるということが分かります次に微分した場合には共変成分と半編成分がどのようになるかということを見ていきましょうまずスカラー関数RGFの半編座標X'Iによる微分を考えますこの微分は微分の近微分の公式を利用してこちらのように書くことができますここで座標の変換則を持ってきてこれをこの両辺をX'Iで変微分しますそうすると先ほど出てきたRGF関数の変換則の頭のコードというのはTJIに等しいということが分かりますこのTJIというのは反変ベクトルを共変ベクトルに変換する変換行列ですこの結果からスカラー関数を半編成分で微分すると共変ベクトルになるということが分かりますこのような規則を使っていくと物性のテンソルがどのような成分になっているかを確認することができますまず電解ベクトルの成分EJはEJ×Decalと座標での定ベクトルとの席の輪になりますのでこれがFNベクトルになるためにはEJは半編テンソルでないといけません反変ベクトルでもということですね次に有電力テンソルを考えますこの時自由エネルギースカラーはIPシロンIJ×EI×EJの相撲になりますのでEIとEJが反変ベクトルですのでEIJというのは2階の共変テンソルであることが分かります静みテンソルというのは実空間での静みデルタXIこれは3変ベクトルですねXJ位置のDXJで微分したものになりますXJはまた反変ベクトルですのでこれで微分すると共変成分に変わりますということで静みテンソルというのは反変成分と共変成分を1つずつ持っている2階テンソルであることが分かります同様に男性テンソルの場合には共変成分、反変成分、共変成分、反変成分が交互に出てくる4階の反変共変テンソルであることが確認できますこのようにP直行系のベクトル解析をうまく利用していくと理論解析、理論展開が非常に簡単になりますしかしながら実際の材料の物性のテンソル成分と関連を提付けることはあまり簡単ではありません単結晶の場合でしたら確かに単位交差の軸方向が決められますのでテンソル成分と対応を付けることはできますしかし単結晶の場合には平均値をとろうとするとコロナの対象テンソルを対抗して主張の平均値を取ることが必要になってきます主張を取るということはベクトルの方向に基本ベクトルを回転させるということになりますこのようにしてもいいかもしれませんが実際に多くの理論計算の出力、例えばバスプなどの出力では単位交差の基本ベクトルに対してテンソル成分を出力するのではなくてデカルト座標に対するテンソルを出力します例えばバスプでどのようにデカルト座標が定義されるかというとポスカーファイルの中でコーシベクトルをデカルト座標で表現した時のコーシベクトルが入力されますこのコーシベクトルの方に従って物性テンソル、例えば男性立点ソル、有電立点ソルやボルニー有効電化テンソルなどが出力されています以上、共変ベクトルと半変ベクトル共変成分と半変成分の基本的な規則についてまとめておきますまず、基本ベクトルと座標の共変半変は入れ替わりますまた、実空間と逆空間の共変半変成分も入れ替わりますさらに微分によっても共変と半変が入れ替わりますまた、軽量テンソルを使うことによって共変成分と半変成分を入れ替えられるということも説明しました次の表はこれらをまとめていますが、実行シベクトルが共変の場合、その座標は半変になりその座標で微分した結果は共変成分に変わります実行シベクトルの共変の場合は逆空シベクトルは半変で逆空子の座標は共変で逆空子の座標で微分すると半変に変わります実行シベクトルが半変の場合は今と逆ですねというようなことで、この上の4つのルールを考えてさらに、袖次ルールをきっちり守ることによって半変成分と共変成分の計算というのは間違いなく行うことができるようになります最後に共変座標と半変座標というのは同じ規定ベクトルで異なる座標の取り方にあたるということを軽く説明して終わりにします今まで私たちが見てきた一般座標系の座標の取り方はこのようにR点Pの1ベクトルをA2ベクトルに並行にA1軸に射映した値が座標X1で同様のことをA2軸に対して行ったのはX2軸ですこのような座標の取り方を規定座標系あるいは、座座標系と呼びますこれに対して、点Pの1ベクトルRを射映する際にA1軸に対して垂直に射映するという考え方もできますこの場合には、A2軸への射映も垂直に落とすことになりますので、座標はX1、この1とX2、この1になりますしかしながらこのような座標の取り方を正座標系と呼びますしかしながらこのような座標系で1ベクトルをA1とA2で表すのは簡単ではありません実はこのような座標の取り方をすると、A1とA2の逆行シベクトルA1とA2をとって、A1とA2に対して、座標系をとることと同じであるということがこのうちから確認できますこのように、このように出てきたX1とX2というのは、元々のこの座標系A1、A2についての半辺座標になりますがこちらのX'1、X'2は逆行式空間での規定座標系になっているので、これが共変座標になっているということも理解していただけるかなと思います以上で終わります