# スライド 1　東京科学大学

## テキスト

東京科学大学総合研究院元素戦略MDX研究センターフロンティア材料研究所神谷利夫チュートリアル: 基本格子とブラべ格子

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# スライド 2　前提と目標

## テキスト

前提と目標前提: 基本的な結晶学、結晶化学の知識はある学習目標ブラべー格子と基本格子の復習単位格子は任意にとれる: 異なる単位格子間の変換を学ぶデカルト座標系と一般座標系の取り扱い:　基本ベクトルの変換と座標変換単位格子の表現: 格子ベクトルと内部座標 (一般座標系)　単位格子の変換: 格子ベクトルの変換 (=> 内部座標の変換)逆格子: 共変ベクトルと反変ベクトル

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# スライド 3　単位格子:基本格子とブラベー格子

## テキスト

単位格子:基本格子とブラベー格子

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# スライド 4　格子と格子点

## テキスト

格子と格子点格子: 周期的に繰り返す構造        格子点 だけで構成される単位格子: 格子の繰り返し単位[tkprog_X_path]\crystgal\draw_unit_cell.py[tkprog_X_path]\crystgal\draw_unit_cells.py

## 図

![スライド4の図1](images\slide4_image1.png)

![スライド4の図2](images\slide4_image2.png)


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# スライド 5　格子 + 原子修飾 = 結晶

## テキスト

+=格子 + 原子修飾 = 結晶格子 + 原子修飾 = 結晶結晶: 格子に原子団を配置したもの　　　　「格子点」に原子がある必要はない

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# スライド 6　面心立方格子 + NaCl分子 = NaCl結晶

## テキスト

面心立方格子 + NaCl分子 = NaCl結晶

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# スライド 7　結晶構造の表現

## テキスト

結晶構造の表現結晶の単位格子は、格子定数の組（a, b, c, α, β, γ) で定義される。　単位格子内の原子の座標は、「部分座標 (内部座標)」で表わされる。原点を (0, 0, 0), a, b, c軸の端を 1.0とする。一般に、0 から 1 の間の数値で座標を表現する　a, b, c 軸に対応するベクトル a, b, c = a1, a2, a3 を 格子ベクトルと呼ぶ。部分座標 (x, y, z) にある原子の位置ベクトル R:　　R = x a + y b + z c　= Σi (xi ai)　                     単位格子体積は  で計算できる

## 数式

$$ V=a∙(b*c) $$

## 図

![スライド7の図1](images\slide7_image1.png)


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# スライド 8　単位格子の選び方は無限にある

## テキスト

ab単位格子の選び方は無限にあるa’b’a’’b’’

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# スライド 9　a

## テキスト

ab の格子は単斜晶？ a’b’a’b’ = a’単斜晶？面心直方晶のBravis格子をとれる格子の対称性は、単位格子の “みかけの形” から判断するのは難しい　格子点の対称要素から判断・定義する

## 数式

$$ a=b, 𝛄≠𝟗0𝐨 $$

## 図

![スライド9の図1](images\slide9_image1.png)


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# スライド 10　BaTiO3の逐次相転移

## テキスト

立方晶強誘電相BaTiO3の逐次相転移立方晶正方晶直方晶菱面体晶直方晶正方晶常誘電相Lattice parameters (Å)Ps (C/m2)Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th ed (2005) p. 471三井利夫 編著、強誘電体 (槇書店, 1969)菱面体晶

## 図

![スライド10の図1](images\slide10_image1.x-emf)

![スライド10の図2](images\slide10_image2.x-emf)


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# スライド 11　なぜ直方晶BaTiO3は単位格子体積が2倍になるのか

## テキスト

なぜ直方晶BaTiO3は単位格子体積が2倍になるのかブラベー格子 (直方格子) Amm2基本格子 (単斜？格子)ao = ambo = bm – cmco = bm + cmao = ambm = cmbo ~ co ~ √2bm

## 図

![スライド11の図1](images\slide11_image1.png)

![スライド11の図2](images\slide11_image2.png)

![スライド11の図3](images\slide11_image3.png)

![スライド11の図4](images\slide11_image4.png)


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# スライド 12　対称要素から高い対称性の単位格子をつくる

## テキスト

対称要素から高い対称性の単位格子をつくるaC2C2aC2a–C2aaC2a–C2aC2aorthobortho例: 回転軸あるいは鏡映面があると、直交する軸角は90oにとることができる回転軸あるいは鏡映面 => 1つの軸角が90o: 三斜晶以外三斜晶に許される対称要素は中心対称だけ主軸に直交する回転軸あるいは鏡映面: 直方晶以上C6 => 六方晶、C4 => 正方晶、C3 => 三方晶、C4+C3 => 立方晶単斜晶では、C2 だけ、あるいは 鏡映面だけ でもよい

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# スライド 13　六方晶と三方晶の基本格子: 三方晶も、六方格子の単位格子をとれる

## テキスト

六方晶と三方晶の基本格子: 三方晶も、六方格子の単位格子をとれる六方晶三方晶対称要素から単位格子をつくるabab三方晶の場合:・ a, b が面内にある場合:　　六方格子・ a, b が面直成分をもつ場合:　　菱面体格子C6C3

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# スライド 14　三方晶: 六方格子軸、菱面体格子軸の単位格子を取ることが可能

## テキスト

三方晶: 六方格子軸、菱面体格子軸の単位格子を取ることが可能・ 三方晶　  (P3, P-3): 基本格子が六方格子軸　　菱面体格子設定は取れない・ 菱面体晶 (R)　　　 : 基本格子が菱面体格子軸　　六方格子設定を取ると単位格子が３倍になる三方晶 vs 菱面体晶[tkprog_X_path]\crystgal\draw_rhombohedral_cells.py

## 図

![スライド14の図1](images\slide14_image1.png)


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# スライド 15　7つの晶系の定義: 対称要素

## テキスト

7つの晶系の定義: 対称要素晶系対称要素ブラべー格子 格子定数の標準ブラべー格子三斜晶(triclinic)1回軸（対称性なし）または1回回反軸（反転） c < a < b  90o  90oP単斜晶(monoclinic)2回軸 (2回回反軸)または鏡映面 =  = 90oc < a  90oP, B直方晶(orthorhombic)直交する3つの2回軸 (2回回反軸) =  =  = 90oc < a < bP, C (A, B), F, I正方晶 (tetragonal)4回軸 (4回回反軸)a = b,  =  =  = 90o P, I六方晶 (hexagonal)6回軸 (6回回反軸)a = b =  = 90o,  = 120o P三方晶 (trigonal) 菱面体晶(rhombohedral)3回軸 (3回回反軸)a = b =  = 90o,  = 120o基本格子:　a = b = c,  =  = ブラべー格子: a = b =  = 90o,  = 120o P R (R設定) R (H設定)立方晶 (cubic)体対角方向の4つの3回軸 (3回回反軸)a=b=c===90o P, F, I

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# スライド 16　基本格子 vs. ブラベー格子

## テキスト

ab基本格子 vs. ブラベー格子a’b’基本格子Primitive cellブラベー格子Bravais cellConventional ceｌｌ・ 格子点の数を増やし、　見かけの対称性が高く見えるようにとった　単位格子・ 計算時間がかかる・ 格子点は1つ　最小の単位格子・ 量子計算などは　基本格子で行う例: 面心直方格子基本格子　　 : 格子点を１つだけ含む、最小の単位格子ブラべー格子: 結晶の対称性を見やすくするために選ばれた単位格子。格子点が複数含まれることもある。

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# スライド 17　ブラベー格子と基本格子: 面心立方格子

## テキスト

ブラベー格子と基本格子: 面心立方格子Siの構造 (室温)　空間群　Fd3m, No. 227 (立方晶系, ダイヤモンド構造)　ブラベー格子　　　　　　基本格子　aC = 0.5431 nm　　　　　aR = 0.3840 nm  =60oSiSi,GaSi,AsSi (0, 0, 0)

## 図

![スライド17の図1](images\slide17_image1.png)

![スライド17の図2](images\slide17_image2.png)

![スライド17の図3](images\slide17_image3.png)

![スライド17の図4](images\slide17_image4.png)

![スライド17の図5](images\slide17_image5.png)

![スライド17の図6](images\slide17_image6.png)

![スライド17の図7](images\slide17_image7.png)

![スライド17の図8](images\slide17_image8.png)


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# スライド 18　ブラベー格子と基本格子: 体心立方格子

## テキスト

ブラベー格子と基本格子: 体心立方格子体心立方格子

## 図

![スライド18の図1](images\slide18_image1.png)


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# スライド 19　ブラベー格子と基本格子、格子変換

## テキスト

ブラベー格子と基本格子、格子変換ブラベー格子内の格子点の数基本格子他にとれる単位格子←の単位格子の格子点の数体心立方格子2軸角が109.5oの菱面体面心立方格子4軸角が60oの菱面体六方晶1b/a=√3の斜方格子直方格子2菱面体晶1菱面体格子六方格子3三方晶1六方格子

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# スライド 20　底心正方格子、辺心正方格子はあるか？

## テキスト

底心正方格子、辺心正方格子はあるか？面心正方格子C底心正方格子辺心正方格子小さい単純正方格子をとれる頂点と辺心の点の環境が違う=> 格子ではない

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# スライド 21　Bravais格子は14種に限られる

## テキスト

Bravais格子は14種に限られる[tkprog_X_path]\crystgal\draw_bravais_lattice.py単純立方 (P)体心立方 (I)面心立方 (F)単純正方 (P)体心正方 (P)単純直方 (P)体心直方 (P)一面心直方底心直方 (C)菱面体 (R)面心直方 (F)六方(P)単純単斜 (P)一面心単斜底心単斜 (C)三射 (P)

## 図

![スライド21の図1](images\slide21_image1.png)

![スライド21の図2](images\slide21_image2.png)

![スライド21の図3](images\slide21_image3.png)

![スライド21の図4](images\slide21_image4.png)

![スライド21の図5](images\slide21_image5.png)

![スライド21の図6](images\slide21_image6.png)

![スライド21の図7](images\slide21_image7.png)

![スライド21の図8](images\slide21_image8.png)

![スライド21の図9](images\slide21_image9.png)

![スライド21の図10](images\slide21_image10.png)

![スライド21の図11](images\slide21_image11.png)

![スライド21の図12](images\slide21_image12.png)

![スライド21の図13](images\slide21_image13.png)

![スライド21の図14](images\slide21_image14.png)


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# スライド 22　単位格子の取り方 (国際結晶学連合 (IUCr) 標準)

## テキスト

単位格子の取り方 (国際結晶学連合 (IUCr) 標準)一般的な選び方 （VESTA: Utilities => Standardization) 対称性がわかりやすい単位格子で最小のものをとる （ブラベー格子） (単斜晶以外の場合) 最も高い対称要素 (鏡映面や回転軸など) をc 軸 (主軸) にとる 最も高い対称性の位置を原点 (0 0 0) にとる		i) 対称中心、ii) 鏡映面、(iii) 回転軸ただし、らせん軸や映進面などの交点を原点に取る場合もある 軸角は90o 以上に取る 単斜晶の場合、主軸のC2をb軸にとる (β > 90o)。a, c軸は、b軸に垂直な面内でなるべく短くなるようにとる

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# スライド 23　ミラー指数: 格子面の定義

## テキスト

ミラー指数: 格子面の定義

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# スライド 24　非直交座標系で如何に面を定義するか: 2次元格子

## テキスト

非直交座標系で如何に面を定義するか: 2次元格子aba/hOb/kaba/hb/kO(h k) = (2 1)(h k) = (2 3)

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# スライド 25　非直交座標系で如何に面を定義するか: 3次元格子

## テキスト

非直交座標系で如何に面を定義するか: 3次元格子[tkprog_X_path]\crystgal\lattice_plane.py(010)(020)(110)(102)(123)(111)

## 図

![スライド25の図1](images\slide25_image1.png)

![スライド25の図2](images\slide25_image2.png)

![スライド25の図3](images\slide25_image3.png)

![スライド25の図4](images\slide25_image4.png)

![スライド25の図5](images\slide25_image5.png)

![スライド25の図6](images\slide25_image6.png)


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# スライド 26　指数の表記

## テキスト

指数の表記実格子の座標を uvw、逆格子の座標 (ミラー指数) を hkl とする [uvw]	: 実空間における線の「実空間の方向」 hkl	: 回折指数 (逆空間の座標、逆格子点) (hkl)	: Miller指数hklの組で表される　　　　　　　「実空間の面 ＝ 法線の方向」	直交系では [hkl] は (hkl) の法線と同じ	非直交系ではそうなるとは限らない <uvw>	: 等価な[uvw]の全ての「実空間の方向」 (型方向) {hkl}	: 等価な (hkl) の全ての「面」 (型面) 晶帯面： ある軸 [uvw] (晶帯軸) に平行な面の集まり	hu + kv + lw = 0 を満たす面 (hkl) の集合 (hkil)	: 六方晶系のMiller-Bravais指数 	i = – h – k とすると、hki が六回対称の表現になる(010)面ab[010]方向010: 逆格子点(010)面の法線方向立方晶における[001]を晶帯軸とする晶帯面[tkprog_X_path]\crystgal\zone_axes.py

## 図

![スライド26の図1](images\slide26_image1.png)


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# スライド 27　b

## テキスト

bac六方晶、三方晶のミラー指数等価な面が判別しやすいように、4つ目の指数 i を使うことがある, ,  はすべて等価な面だが、hk指数だけからは対称性を判断できない    i = – h – k  を導入して (h k i l) = (h k l) とあらわす:			hki指数はすべて組になっているので、等価な面だとわかる。 　六方晶、三方晶であることを明記しながら省略する場合

## 数式

$$ (1 0 0) $$

$$ (1 1 0) $$

$$ (1 1 0) $$

$$ (1 0 1 0)=(1 0 0) $$

$$ (1 1 0 0)=(1 1 0) $$

$$ 1 0 1の $$

$$ (0 1 ・ 0) $$

## 図

![スライド27の図1](images\slide27_image1.png)

![スライド27の図2](images\slide27_image2.x-wmf)

![スライド27の図3](images\slide27_image3.x-wmf)

![スライド27の図4](images\slide27_image4.x-wmf)

![スライド27の図5](images\slide27_image5.png)


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# スライド 28　面指数と方位指数を区別する必要がある例

## テキスト

六方晶(ZnO)など面指数と方位指数を区別する必要がある例非直交軸角が絡む指数の場合は常に注意することc-aab単斜晶(β-Ga2O3)など

## 図

![スライド28の図1](images\slide28_image1.x-wmf)

![スライド28の図2](images\slide28_image2.x-wmf)

![スライド28の図3](images\slide28_image3.x-wmf)

![スライド28の図4](images\slide28_image4.x-wmf)

![スライド28の図5](images\slide28_image5.x-wmf)

![スライド28の図6](images\slide28_image6.x-wmf)

![スライド28の図7](images\slide28_image7.x-wmf)


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